На допомогу Площа прямокутника 180 см2. Якщо одну його сторону збільшити на 2 см, а другу зменшити на 3 см, то отримаємо прямокутник, що теж має площу 180 см2. Знайти початкові сторони прямокутника.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
Назвемо початкові довжину і ширину прямокутника x і y відповідно. Тоді ми маємо:
x * y = 180
Якщо одну сторону збільшити на 2 см, а іншу зменшити на 3 см, то отримаємо:
(x + 2) * (y - 3) = 180
Розкладаючи обидві сторони і спрощуючи, отримуємо:
x^2 + 2x - y^2 + 3y - 180 = 0
Тепер ми можемо використати той факт, що x * y = 180, щоб замінити y через x:
y = 180 / x
Підставляючи цей вираз для y у рівняння x^2 + 2x - y^2 + 3y - 180 = 0, ми отримуємо:
x^2 + 2x - 180 / x^2 + 3 * 180 / x - 180 = 0
Розкладаючи другий доданок і спрощуючи, отримуємо:
x^2 + 2x - 180 / x^2 + 540 / x - 180 = 0
Переставивши доданки, отримаємо:
x^2 + 540 / x - (2x + 180) / x^2 - 180 = 0
Розділивши обидві сторони на x^2, отримаємо:
1 + 540 / x^3 - 2x / x^2 - 180 / x^2 = 0
Тепер ми можемо помножити обидві сторони на x^2, щоб отримати:
x^2 + 540 - 2x^3 - 180 = 0
Нарешті, розв’язуючи x^3, ми отримуємо:
x^3 = (540 + 180 - x^2) / 2
Оскільки x > 0, ми можемо звести обидві сторони в квадрат, щоб отримати:
x^6 = (540 + 180 - x^2)^2 / 4
Розгорнувши обидві сторони, отримаємо:
x^6 = (540 + 180 - x^2)^2 / 4
x^6 = (720 - x^2)^2 / 4
x^6 = (720^2 - 2 * 720 * x^2 + x^4) / 4
Помноживши обидві сторони на 4, отримаємо:
4x^6 = 720^2 - 2 * 720 * x^2 + x^4
Розгорнувши x^4 праворуч, ми отримаємо:
4x^6 = 720^2 - 2 * 720 * x^2 + x^2 * x^2
4x^6 = 720^2 - 2 * 720 * x^2 + x^2^2
Спрощуючи обидві сторони, отримуємо:
4x^6 = 720^2 - 2 * 720 * x^2 + x^2^2
4x^6 = 720^2 - 2 * 720 * x^2 + x^2^2
Переставивши доданки, отримаємо:
4x^6 - 720^2 + 2 * 720 * x^2 - x^2^2 = 0
Розділивши обидві сторони на 2 * 720, отримаємо:
2x^6 / 720 - 720 + x^2 - x^2^2 / 720 = 0
Розгортаючи x^2^2 праворуч, ми отримуємо:
2x^6 / 720 - 720 + x^2 - x^4 / 720 = 0
Тепер ми можемо використовувати той факт, що x^3 = (540 + 180 - x^2) / 2, щоб замінити x^3
Щоб розв’язати x, спочатку нам потрібно виділити x^3 на одній стороні рівняння:
x^3 = (540 + 180 - x^2) / 2
2 * x^3 = 540 + 180 - x^2
2 * x^3 + x^2 = 720
х^3 + х^2 = 360
х^3 + х^2 - 360 = 0
Далі ми можемо використати кубічну формулу для вирішення x:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (3a)
де a = 1, b = 1 і c = -360. Підставляючи ці значення, ми отримуємо:
x = (-1 ± √(1 + 1440)) / 3
Нарешті, ми знаходимо дійсний корінь рівняння, взявши додатний квадратний корінь із виразу під знаком квадратного кореня:
x = (-1 + √(1441)) / 3
Отже, значення x дорівнює приблизно 5,55.