Question

На бічних сторонах AB i BC рівнобедреного трикутника АВС позначили відповідно точки К і М так, що кут ВАМ = куту ВСК. Доведіть, що ВК =ВМ​

Answer 1

Из предоставленной информации мы знаем, что углы ∠BAM и ∠BCK равны. Докажем, что прямая BK равна прямой BM, используя теорему: «Если два угла треугольника равны, то равны и стороны, лежащие против этих углов».

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, точки K и M которого расположены на сторонах AB и BC соответственно, так что ∠BAM = ∠BCK.

Проведем перпендикуляры АК и СМ, пересекающиеся в точке Р.

Поскольку AK и CM перпендикулярны, ∠PAK = ∠PCM = 90⁰.

Поскольку ∠BAM = ∠BCK, мы знаем, что ∠ABK = ∠CBK.

Чтобы доказать, что BK = BM, воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника, которая утверждает, что мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух удаленных друг от друга внутренних углов.

В равнобедренном треугольнике ABC ∠ABC = ∠ACB, что означает, что ∠ABK = ∠ACM.

Из этих соотношений мы можем составить уравнение:

∠ABC + ∠ACK + ∠ABK = ∠ABC + ∠ ACM + ∠ ACM

Мы можем упростить уравнение, чтобы получить:

∠ACK + ∠ABK = ∠ACM + ∠ ACM

Мы можем добавить ∠PAK к обеим частям уравнения, чтобы получить:

∠ ACK + ∠ABK + ∠PAK = ∠ACM + ∠ ACM + ∠PAK

Поскольку мы знаем, что ∠PAK = 90⁰, уравнение еще больше упрощается и дает нам:

∠ABC + ∠ABK = ∠ACB + ∠ACM

Подставляя ∠ABC и ∠ACB на их равные значения, получаем:

2∠ABK = 2∠ACM

Следовательно, ∠ABK = ∠ACM

Наконец, мы можем подставить это значение обратно в исходное уравнение:

∠ABC + ∠BCK = ∠ABC + ∠BCM

Что упрощает получение желаемого результата: BK = BM .

Отсюда можно сделать вывод, что BK равно BM.