Question

Используя деление «уголком», запишите в каноническом виде частное при делении

многочлена ℎ() = х³-кх²-х-2 на двучлен (х-2). Найдите все корни многочлена и

разложите его на множители.

пожалуйста помогите ​

Answer 1

Ответ:

Делим уголком многочлен на многочлен .

$\bf h(x)=x^3-kx^2-x-2\ \ ,\ \ \ g(x)=x-2\\\\{}\qquad x^3-kx^2-x-2\qquad \ \ |\ x-2\\{}\ -(x^3-2x^2)\qquad \qquad \qquad -------------\\{}\quad ----------\qquad \ \ x^2+(2-k)x+(3-2k)\\{}\qquad \ (2-k)x^2-x-2\\{}\quad -((2-k)x^2-(4-2k)x)\\{}\qquad \ -----------\\{}\qquad \qquad (3-2k)x-2\\{}\qquad \quad -((3-2k)x-6+4k)\\{}\qquad \qquad ----------\\{}\qquad \qquad \qquag \qquad \qquad \qquad \ 4-4k$    

Тогда можно записать  

$\bf x^3-kx^2-x-2=(x^2+(2-k)x+3-2k)(x-2)+(4-4k)$  .

Чтобы деление было без остатка, надо чтобы  4-4k=0 ,  k=1 .

Разложим на множители   $\bf x^2+(2-k)x+3-2k$  при  k=1 .  

$\bf x^2+(2-k)x+3-2k=x^2+x+1=0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=1-4=-3 < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x_{1,2}=\dfrac{-1\pm i\, \sqrt3}{2}$  

$\bf x^3-x^2-x-2=\Big(x-2\Big)\Big(x-\dfrac{-1-i\, \sqrt3}{2}\Big)\Big(x-\dfrac{-1+i\, \sqrt3}{2}\Big)\\\\\\x^3-x^2-x-2=\Big(x-2\Big)\Big(x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\, i\ \Big)\Big(x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\, i\ \Big)$