Question

Упростите равенство
(sin 7alpha - sin 8alpha + sin 9alpha)/(cos 7alpha - cos 8alpha + cos 9alpha)

Answer 1

Формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2} \cos\dfrac{x-y}{2}$

$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2} \cos\dfrac{x-y}{2}$

Рассмотрим выражение:

$\dfrac{\sin 7\alpha - \sin 8\alpha + \sin 9\alpha}{\cos 7\alpha - \cos 8\alpha + \cos 9\alpha} =\dfrac{(\sin 7\alpha+ \sin 9\alpha )- \sin 8\alpha }{(\cos 7\alpha+ \cos 9\alpha) - \cos 8\alpha } =$

$=\dfrac{2\sin\dfrac{7\alpha +9\alpha }{2}\cos \dfrac{7\alpha -9\alpha }{2}- \sin 8\alpha }{2\cos\dfrac{7\alpha +9\alpha }{2}\cos \dfrac{7\alpha -9\alpha }{2} - \cos 8\alpha } =\dfrac{2\sin8\alpha\cos(-\alpha )- \sin 8\alpha }{2\cos8\alpha \cos (-\alpha ) - \cos 8\alpha } =$

$=\dfrac{2\sin8\alpha\cos\alpha - \sin 8\alpha }{2\cos8\alpha \cos \alpha - \cos 8\alpha } =\dfrac{\sin8\alpha(2\cos\alpha - 1) }{\cos8\alpha(2 \cos \alpha - 1) } =\dfrac{\sin8\alpha }{\cos8\alpha } =\boxed{\mathrm{tg}\,8\alpha }$