В основе пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 6 см.
Известно, что одна боковая грань пирамиды перпендикулярна основанию, две
другие наклонены к основанию под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
Ответы
Ответ:
Если боковая грань перпендикулярна основанию, значит в ней содержится высота.
Пусть SО - высота пирамиды и SО принадлежит грани SАС.
Проведем ОН⊥ВС и ОК⊥AB.
Тогда SH⊥BC и SK⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
Тогда ∠SHO и ∠SKO - углы наклона боковых граней к плоскости основания и они равны α.
Треугольники SOH и SOK равны по катету и противолежащему углу (SO - общий катет, ∠SHO = ∠SKO = α). Значит:
О - середина АС,
SH = SK, а значит и площади боковых граней SAB и SBC равны.
Проведем АМ - медиану правильного треугольника. Тогда АМ⊥ВС.
АМ = а√3/2
О - середина АС, ОН║АМ как перпендикуляры к одной прямой, значит ОН - средняя линия треугольника АМС,
ОН = АМ/2 = а√3/4
ΔSOH: h = OH·tgα
h = a√3·tgα / 4
b = h/sinα = a√3·tgα / (4sinα) = a√3 / (4cosα)
Ssac = a·h / 2 = a²√3·tgα / 8
Ssbc = Ssac = a·b/2 = a²√3 / (8cosα)
Sбок = Ssac + 2Ssbc =
= =
= =
=