Книга имеет N страниц, обычно пронумерованных от 1 до N. Сумма всех цифр, использованных при нумерации страниц равна 1095. Сколько листов имеет эта книга?
Ответы
Ответ:
129 страниц, листов 65.
Объяснение:
1) сумма цифр, находящихся в разряде единиц, в каждом десятке равна 45 (это от 1 до 9, от 10 до 19, от 20 до 29 и так далее);
2) сумма цифр, находящихся в разряде десятков, в каждой десятке равна удесятерённому значению цифры десятков (от 10 до 19 это 10, от 20 до 29 это 20, от 30 до 39 это 30 и так далее);
3) получается, что сумма цифр от 1 до 9 есть 45, сумма цифр от 10 до 19 есть 45+1*10=55, от 20 до 29 есть 2*10+45=65, от 30 до 39 есть 75,..., от 90 до 99 есть 135.
4) в итоге сумме цифр всех однозначных и двузначных чисел (это от 1 до 99) соответствует сумма ряда 45, 55, 65, 75, 85,.., 135 (первый член 45, разность 10, количество членов ряда 10), то есть 900;
5) так как сумма 99 страниц книги есть 900, значит, книга состоит из более, чем 100 страниц, то есть число N - трёхзначное;
6) рассуждая способом как в пп.№1-3, получаем, что для страниц 100-109 сумма цифр есть 55, для 110-119 сумма цифр есть 65, для 120-129 сумма цифр есть 75, для 130-139 сумма цифр есть 85 и так далее;
7) из п.№6 видно, что 55+65+75=195, то есть после страницы №99 идёт ещё 30 страниц, последняя из которых имеет №129. Значит
8) книга имеет 129/2=64,5→65 листов, по две страницы на каждый.
PS. Задача решается не одним способом. Предоставленный способ не является самым кратким.