Question

1. При каких значениях а уравнение x^2+2(а-1)x+a^2- 8а+9=0 имеет два различных корня, меньших 1? 2. При каких значениях а уравнение x^2-2(a+1)x+a^2- 2a+4=0 имеет два различных корня, больших 1? 3. Найти множество значений параметра а, при которых число A=3 находится между корнями квадратного уравнения Заx^2-2(7a+3)x+3a^2+30=0. 4. При каких значениях а корни уравнения 4x^2- (3a+1)x-a-2=0 заключены на интеравле (-1;2). 5. Найти множество значений параметра р, при которых корни квадратного уравнения x^2- 3(3p+7)x+p^2+34p+60=0 лежат по разные стороны интервала (3;4).

6. Найти множество значений параметра а, при которых уравнение 4^x-3(a-5)2^x+2a^2- 22а+56=0 имееет одно решение, принадлежащее отрезку [1;2].

Answer 1

Ответ:

(1) При каких значениях а уравнение x^2+2(а-1)x+a^2- 8а+9=0 имеет два различных корня, меньших 1?

Строим параболу как на прикрепленном рисунке.

Это единственный случай, когда условие задачи выполнено.

Опишем этот случай системой:

$\left\{\begin{array}{c}f(1) > 0\\D > 0\end{array}\right,\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{c}a^2-6a+8 > 0\\3a-4 > 0\end{array}\right;$

Ну а решение этой системы очевидно:

$a\in\left(\dfrac{4}{3};\;2\right)\cup\left(4;\;+\infty\right)$

Здесь я сделаю комментарий, что школьными учителями на моей практике такой способ решения почему-то не рассказывается. В качестве альтернативы, зачем-то предлагается находить корни аналитически и решать неравенства.

Однако я не вижу смысла решать что-то такое:

$\left\{\begin{array}{c}1-a+\sqrt{6a-8} < 1\\1-a-\sqrt{6a-8} < 1\\6a-8 > 0\end{array}\right;$

И не понимаю, зачем нужно рекомендовать такой подход.

(2) Больше единицы решается аналогично.

(3) Решается еще проще аналогичной логикой, но будет 2 случая, ведь ветки параболы могут смотреть и вниз и вверх:

$\left\{\begin{array}{c}f(3) < 0\\a > 0\end{array}\right;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{c}f(3) > 0\\a < 0\end{array}\right$

$a\in(-\infty;\;0)\cup(1;\;4)$

(4) Опять-таки логика аналогичная (все задания в этом разделе на одно и то же).

$\left\{\begin{array}{c}f(-1) > 0\\f(2) > 0\\D > 0\end{array}\right;$

(5) Аналогично 4-ому.

(6)  "имеет одно решение" - возможно пропущено слово ровно? Как правило в таких заданиях оно встречается и его пропускать нельзя, так как от этого зависит ответ. Решаю в этом предположении. В противном случае, действуете по аналогичной идее.

Тут надо ввести замену вида $t=2^x$ и переформулировать условие задачи так: Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $t^2-3(a-5)t+2a^2-22a+56=0$ имеет ровно один положительный корень, принадлежащий промежутку $[2;\;4]$ (если в условии все-таки нет слова ровно, то положительных корней может быть два, лишь один из которых принадлежит промежутку [2; 4]).

Тогда тут будет два случая, описываемых так:

$\left\{\begin{array}{c}f(2)\le0\\f(4)\ge0\\f(0)\le0\\D > 0\end{array}\right;\;\;\;\left\{\begin{array}{c}2\le x_0\le4\\D=0\end{array}\right;$

Здесь $x_0$ есть координата вершины параболы по x.

Решая это получаем, что исходное уравнение имеет ровно (а не просто одно!) решение на отрезке [1; 2] при $a\in\left[5;\;6\right]$.