Question

Розв'яжіть рівняння √4x+1+√x−2=3−log2(x−1)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt{4x+1}+\sqrt{x-2}=3-\log_2(x-1)$

Введем функции $f(x)=\sqrt{4x+1}+\sqrt{x-2}$ и $g(x)=3-\log_2(x-1)$.

Заметим, что $f(x)$ есть возрастающая функция как сумма двух возрастающих функций $k(x)=\sqrt{4x+1}$ и $m(x)=\sqrt{x-2}$.

В свою очередь функция $g(x)$, напротив, убывающая функция.

Тогда уравнение вида $f(x)=g(x)$ может иметь не более одного решения.

Это решение угадывается и есть $x=2$.

Действительно:

$\sqrt{4\times2+1}+\sqrt{2-2}=3-\log_2(2-1)\\3+0=3-0$

$3=3$, верно.

Уравнение решено!