Question

площадь прямоугольного треугольника равна 30 см в квадрате,а его гипотенуза равна 13 см .найти катеты треугольника

Answer 1

Пусть первый катет равен х см, а второй - у см.

Площадь прямоугольного треугольника равна xy/2, что по условию составляет 30 см², тогда xy = 60

По теореме Пифагора: $x^2+y^2=13^2$

решим систему уравнений:

$displaystyleleft { {{xy=60} atop {x^2+y^2=169}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{xy=60} atop {(x-y)^2+2xy=169}} right. ~~Rightarrow~~~left { {{xy=60} atop {(x-y)^2+120=169}} right.\ \ \ left{ {{xy=60} atop {(x-y)^2=49}} right.$

Имеем две системы уравнения

$displaystyle left { {{xy=60} atop {x-y=7}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{(7+y)y=60} atop {x=7+y}} right.\ \ y^2+7y-60=0\ y_1=-12;~~~ x_1=-5\ y_2=5;~~~ x_2=12$

$displaystyle left { {{xy=60} atop {x-y=-7}} right.~~Rightarrow~~~left { {{y(y-7)=60} atop {x=y-7}} right.\ \ y^2-7y-60=0\y_1=-5;~~~ x_1=-12\ y_2=12;~~~ x_2=5$

Отрицательные корни не удовлетворяет условию. Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см.