Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
y=| x^{2}-1|   y=11-|x|

Answer 1

без рисунка
при х≤-1 и х≥1, первая функция буде у=х²-1
при -1≤х≤1, она будет у=1-х²
вторая функция, при х≤0 - у=11+х;
при х≥0 у=11-х
вторая функция выше первой, первая всегда ≥0, и =0 при х=-1 и х=+1
обе функции парные:
$y_1=|x^2-1|\ y_1(x)=|x^2-1| y_1(-x)=|(-x)^2-1|=|x^2-1|=y_1(x);\ y_2(x)=11-|x|; y_2(-x)=11-|-x|=11-|x|$
обе фУНКЦИИ ПАРНЫЕ, ПОЭТОМУ их пересечения будут в некой точке х1, и х2=-х1
рассмотрим при х≥0
$y_1=y_2;\ y=x^2-1=11-x\ x^2+x-12;\ D=1+48=49=7^2;\ x=frac{-1+7}{2}=3;\ y_1(3)=|3^2-1|=|9-1|=8;<==>y_2(3)=11-|3|=11-3=8;\ y_1(-3)=|(-3)^2-1|=|9-1|=|8|=9;<=>y_2(-3)=11-|-3|=8$
интегрирование по промежуткам:
-3≤х≤-1==> y1=x²-1 y2=11+x;
-1≤x≤0==>y1=1-x²; y2=11+x;
0≤x≤1==>y1=1-x²; y2=11-x;
1≤x≤3==>y1=x²-1; y2=11-x;
$I=I_1+I_2+I_3+I_4;\ I= intlimits^{-1}_{-3} {left(11-|x|-|x^2-1|right)} , dx \ I_1= intlimits^{-1}_{-3} {left(11+x-x^2+1right)} , dx = intlimits^{-1}_{-3} {left(12+x-x^2right)} , dx=\ =12x|_{-3}^{-1}+frac{x^2}{2}|_{-3}^{-1}-frac{x^3}{3}|_{-3}^{-1}=12(-1+3)+frac{1-9}{2}-frac{-1+27}{3}=24-4-frac{26}{3}\ =20-frac{26}{3}=frac{60-26}{3}=frac{34}{3};$
$I_2= intlimits^{0}_{-1} {left(11+x+x^2-1right)} , dx = intlimits^0_{-1} {left(x^2+x+10right)} , dx =\ =frac{x^3}{3}|_{-1}^0+frac{x^2}{2}|_{-1}^0+10x|_{-1}^0=frac{0-(-1)^3}{3}+frac{0-(-1)^2}{2}+10(0-(-1))= \ =frac{1}{3}-frac{1}{2}+10=frac{2-3+30}{6}=frac{29}{6};$
$I_3= intlimits_0^1 {left(11-x+x^2-1right)} , dx = intlimits_0^1 {left(x^2-x+10right)} , dx =\ =frac{x^3}{3}|_0^1-frac{x^2}{2}|_0^1+10x|_0^1=frac{(1)^3-0}{3}-frac{(1)^2-0}{2}+10(1-0)= \ \ =frac{1}{3}-frac{1}{2}+10=frac{2-3+30}{6}=frac{29}{6};$
$I_4= intlimits_1^3 {left(11-x-x^2+1right)} , dx = intlimits_1^3 {left(12-x-x^2right)} , dx=\ =12x|_1^3-frac{x^2}{2}|_1^3-frac{x^3}{3}|_1^3=12(3-1)-frac{3^2-1^2}{2}-frac{3^3-1^2}{3}=24-frac{9-1}{2}-frac{27-1}{3}\ =24-frac{8}{2}-frac{26}{3}=24-4-frac{26}{3}=20-frac{26}{3}=\ =frac{60-26}{3}=frac{34}{3};$
$S=I_1+I_2+I_3+I_4=frac{34}{3}+frac{29}{6}+frac{29}{6}+frac{34}{3}=\ =2cdotfrac{34}{3}+2cdotfrac{29}{6}=frac{68}{3}+frac{29}{3}=frac{68+29}{3}=frac{97}{3}=32frac{1}{3}$