Question

Найдите общий вид первообразных для заданнных функций, сделайте проверку с помощью производной.
а) f(x)=9x^3-5x^2+3
б) f(x)=2cos2x - 1/cos^2x
в) f(x)=7^x+e^5x-x

Answer 1

a)

$f(x) = 9x^3 - 5x^2 + 3$

$\displaystyle\bullet ~ \int\limits {x^n } \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \\\\ \bullet ~ \int\limits f(x)+g(x) \, dx = \int\limits {f(x)} \, dx+ \int\limits {g(x)} \, dx$

$F(x) =\displaystyle \int\limits f(x) \, dx =\int\limits (9x^3 - 5x^2 + 3) \, dx = 9\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 5\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3x + C = \\\\ =\boxed{\frac{9}{4}x^4 - \frac{5}{3} x^3 + 3x + C}$

Проверка :

$\displaystyle \bigg(\frac{9}{4}x^4 - \frac{5}{3} x^3 + 3x + C\bigg)' = \frac{9}{4}\cdot 4x^3 -\frac{5}{3} \cdot 3x^2 + 3 = 9x^3 - 5x^2 + 3$

б)

$f(x)= 2\cos 2x - \dfrac{1}{\cos ^2x }$

$\displaystyle\bullet ~ \int\limits {\cos (kx+b) } \, dx = \frac{1}{k}\cdot \sin x + C \\\\ \bullet ~ \int\limits \frac{1}{\cos^2x } \, dx = - \mathrm{ctg} ~x + C$

$\displaystyle F(x) =\int\limits \left (2 \cos 2x - \frac{1}{\cos ^2x } \right) \, dx = 2\cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 2x - \mathrm{ctg} ~x + C =\\\\\\= \boxed{\sin 2x - \mathrm{ctg} ~x + C }$

Проверка :

$(\sin 2x - \mathrm{ctg} ~x + C)' = (2x)' \cdot \cos 2x -\dfrac{1}{\cos ^2x} = 2\cdot \cos 2x -\dfrac{1}{\cos ^2x}$

в)

$f(x)= 7^x + e^{5x} -x$

$\displaystyle\bullet ~ \int\limits {e^{ax} } \, dx =\frac{e^{ax}}{a} +C \\\\ \bullet ~ \int\limits a^x \;dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

$\displaystyle F(x)= \int( 7^x + e^{5x} -x)\; dx = \boxed{\frac{7^x}{\ln 7} + \frac{e^{5x}}{5}- \frac{x^2}{2}+ C}$

Проверка :

$\displaystyle\bigg( \frac{7^x}{\ln 7}+ \frac{e^{5x}}{5}- \frac{x^2}{2}+ C\bigg )' = \frac{7^x}{\ln 7}\cdot \ln 7 + (5x)'\cdot \frac{e^{5x}}{5} - x = 7^x + e^{5x}- x$