Question

Найдите угол между векторами м (-2; 2; 1) и n (-1; 0; 1)

Answer 1

Рассмотрим два вектора:

$\vec{m}=\{m_x;\ m_y;\ m_z\};\ \vec{n}=\{n_x;\ n_y;\ n_z\}$

Скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$(\vec{m}\cdot\vec{n})=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot \cos \alpha$

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат:

$(\vec{m}\cdot\vec{n})=m_xn_x+m_yn_y+m_zn_z$

Приравняем два выражения для скалярного произведения:

$|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot \cos \alpha=m_xn_x+m_yn_y+m_zn_z$

Откуда косинус угла:

$\cos \alpha=\dfrac{m_xn_x+m_yn_y+m_zn_z}{|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|}$

Запишем также выражения для длин векторов и получим:

$\cos\alpha=\dfrac{m_xn_x+m_yn_y+m_zn_z}{\sqrt{m_x^2+m_y^2+m_z^2}\cdot \sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}$

Для векторов $\vec{m}=\{-2;\ 2;\ 1\};\ \vec{n}=\{-1;\ 0;\ -1\}$ получим:

$\cos\alpha=\dfrac{-2\cdot(-1)+2\cdot0+1\cdot1}{\sqrt{(-2)^2+2^2+1^2}\cdot \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}}=$

$=\dfrac{2+0+1}{\sqrt{4+4+1}\cdot \sqrt{1+0+1}}=\dfrac{3}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}}=\dfrac{1}{ \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

$\Rightarrow \alpha =\arccos \dfrac{\sqrt{2} }{2}= 45^\circ$

Ответ: 45°