Question

Для функції f(x)=(1/4x-1)^3 знайдіть первісну F(x) таку,що F(0)=4

Answer 1

Ответ:

$F(x)=\displaystyle \bigg(\dfrac{1}{4} x-1\bigg) ^4 + 3$

Объяснение:

Для функции  $f(x)=\bigg (\dfrac{1}{4} x - 1 \bigg )^3$   найдите такую  первообразную  ,  что  F(0) = 4

Для нахождение первообразной найдем интеграл от функции f(x)

$\displaystyle F(x)= \int\limits f(x)\;dx= \int\limits \bigg (\dfrac{1}{4} x - 1 \bigg )^3\;dx$

Заметим что

$4\cdot d\bigg(\dfrac{1}{4} x-1\bigg) = dx$

Вводим  замену

$t = \dfrac{1}{4} x - 1 \\\\ \boxed{ dx = 4dt }$

И мы получим :

$\displaystyle \int\limits \bigg (\dfrac{1}{4} x - 1 \bigg )^3\;dx = \displaystyle \int\limits t^3 \cdot 4\cdot \;dt = \frac{t^{3+1}}{3+1} \cdot 4 = t^4 + C =\bigg(\dfrac{1}{4} x-1\bigg) ^4 + C$

Переходим к нахождению константы

$F(0) = 4 \\\\ \displaystyle \bigg(\dfrac{1}{4} \cdot 0-1\bigg) ^4 + C = 4 \\\\\\ C + 1 = 4 \\\\ C = 3$

Искомой первообразной для  f(x) является

$F(x)=\displaystyle \bigg(\dfrac{1}{4} x-1\bigg) ^4 + 3$

#SPJ1