Question

Даю 100 баллов геометрия​

Answer 1

Ответ:

N1) 60⁰;

N2) √3 см.

Объяснение:

задача 1). плоскости α и β пересекаются по прямой m. в плоскосях α и β проведены прямые а и b соответственно, параллельные прямой m. расстояние между а и m равно 5 см, между прямыми b и m - 3 см. найти угол между плоскостями α и β, если рассояние между прямыми а и b равно 7 см.

решение.

проведем расстояния PF и FO между прямыми a и m, b и m соответственно, и рассмотрим треугольник FPO. обозначим угол PFO за γ. согласно теореме косинусов, РО²=OF²+PF²-2OF*PF*cosγ, следовательно, $\displaystyle cos\gamma=\frac{OF^2+PF^2-PO^2}{2*OF*PF} =\frac{5^2+3^2-7^2}{2*3*5} =-\frac{15}{30} =-\frac{1}{2} .$

тогда $\gamma=\arccos (\cos\gamma)=\arccos\bigg(-\dfrac{1}{2} \bigg)=120^\circ.$ это наибольший угол между плоскостями, а наименьший - тот, что смежен с ним. вычислим наименьший, учитывая, что сумма смежных углов 180⁰:

180⁰-γ=180⁰-120⁰=60⁰.

задача 2). плоскости α и β пересекаются по прямой m, а угол между ними равен 30⁰. найти расстояние между прямой m и плоскостью γ, которая пересекает плоскости α и β  по параллельным прямым, удаленным от линии пересечения плоскостей на 2 см и 2√3 см.

решение.

обозначим угол между плоскостями α и β за λ, параллельные прямые, пересекающие плоскости α и β, - за b и а соответственно, а расстояния между b и m, а и m - за FO и PO соответственно. рассмотрим треугольник OFP, образовавшийся в результате пересечения плоскостей α, β и γ. найдем РF по теореме косинусов: PF=√(OF²+OP²-2*OF*OP*cosλ)=$\displaystyle\sqrt{(2\sqrt{3} )^2+4-2*2\sqrt{3} *\not2*\frac{\sqrt{3} }{\not2} }$=√(12+4-12)=2 см, - следовательно, треугольник OFP - равнобедренный, и PF=PO, ∠POF=∠PFO=30⁰ - как углы при основании.

тогда расстояние между прямой m и плоскостью γ можно найти как высоту треугольника OFP, проведенную к стороне PF. обозначим ее за ОН, и, поскольку треугольник равнобедренный, то $\displaystyle OH=OF*\sin\lambda =2\sqrt{3} *\sin 30^\circ=\not2*\sqrt{3} *\frac{1}{\not2} =\sqrt{3}$ см.