Question

Докажите тождество
$tg a \cdot tg (60-a)\cdot tg (60+a) = tg 3a$

Answer 1

Ответ:

Доказано.

Объяснение:

$tg\alpha \cdot tg(60^{\circ}-\alpha )\cdot tg(60^{\circ}+\alpha )=tg3\alpha$

Воспользуемся формулами сложения и вычитания аргументов:

$\displaystyle \sf tg(\alpha +\beta )= \frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha tg\beta } \\\\ \sf tg(\alpha -\beta )=\frac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha tg\beta }$

Тогда:

$\displaystyle tg\alpha \cdot \frac{(tg60^{\circ}-tg\alpha) (tg60^{\circ}+tg\alpha )}{(1+tg60^{\circ}tg\alpha)(1-tg60^{\circ}tg\alpha ) } =tg3\alpha$

$\displaystyle tg\alpha \cdot \frac{(\sqrt{3} -tg\alpha) (\sqrt{3} +tg\alpha )}{(1+\sqrt{3} tg\alpha)(1-\sqrt{3} tg\alpha ) } =tg3\alpha$

В числителе и в знаменателе можно использовать формулу сокращенного умножения (a-b)(a+b) = a²-b²:

$\displaystyle \frac{tg\alpha (3-tg^2\alpha )}{1-3tg^2\alpha } =tg3\alpha$

$\displaystyle \frac{3tg\alpha -tg^3\alpha }{1-3tg^2\alpha } =tg3\alpha$

Доказано из формулы тангенса тройного угла.