Question

Помогите пожалуйста!!!! 20 балов

Answer 1

Ответ:

Найдём сначала неопределённый интеграл, применяя тригонометрическую замену .

$\bf \displaystyle \int \, \sqrt{36-x^2}\, dx=\Big[\ x=6sint\ ,\ dx=6\, cost\, dt\ ,\ t=arcsin\frac{x}{6}\ \Big]=\\\\\\=\int \sqrt{36-36sin^2t}\cdot 6\, cost\, dt=6\int \sqrt{1-sin^2t}\cdot 6\, cost\, dt=\\\\\\=6\int \sqrt{cos^2t}\cdot 6\, cost\, dt=36\int cos^2t\, dt=36\int \frac{1+cos2t}{2}\, dt=\\\\\\=18\int (1+cos2t)\, dt=18\cdot \Big(t+\frac{1}{2}sin2t\Big)+C=\\\\\\=18\cdot \Big(arcsin\frac{x}{6}+\frac{1}{2}sin(2arcsin\frac{x}{6})\Big)+C=18\, arcsin\frac{x}{6}+9\, sin(2arcsin\frac{x}{6})+C$  

Теперь вычислим определённый интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница .

$\bf \displaystyle \int\limits^6_{-6}\, \sqrt{36-x^2}\, dx=\Big(18\, arcsin\frac{x}{6}+9\, sin(2arcsin\frac{x}{6})\Big)\Big|_{-6}^6=\\\\\\=18\cdot arcsin1+9\cdot sin(2arcsin1)-18\cdot arcsin(-1)-9\cdot sin(2arcsin(-1))=\\\\=18\cdot \dfrac{\pi}{2}+9\cdot \underbrace{sin\pi }_{0}+18\cdot \frac{\pi}{2} +9\cdot \underbrace{sin\pi }_{0}=18\cdot \pi$