Question

- Найдите наименьший положительный корень уравнения cos12x+cos 6x+1=0.​

Answer 1

$\cos12x+\cos 6x+1=0$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$(2\cos^26x-1)+\cos 6x+1=0$

$2\cos^26x+\cos 6x=0$

$\cos 6x(2\cos6x+1)=0$

$\left[\begin{array}{l} \cos 6x=0\\ 2\cos6x+1=0\end{array}\right.$

Решаем первое уравнение совокупности:

$\cos 6x=0$

$6x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$\boxed{x_1=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{6} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Решаем второе уравнение совокупности:

$2\cos6x+1=0$

$2\cos6x=-1$

$\cos6x=-\dfrac{1}{2}$

$6x=\pm\arccos\left(-\dfrac{1}{2} \right)+2\pi n$

$6x=\pm\dfrac{2\pi }{3} +2\pi n$

$x=\pm\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3}$

$\boxed{x_2=\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} ;\ x_3=-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Выполним отбор корней. Для каждой серии найдем наименьший положительный корень.

Для первой серии:

$\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{6} > 0$

$\dfrac{1 }{12} +\dfrac{ n}{6} > 0$

$\dfrac{ n}{6} > -\dfrac{1 }{12}$

$n > -\dfrac{1 }{2}$

При $n=0$:

$x=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi\cdot0}{6}=\boxed{\dfrac{\pi }{12}}$

Для второй серии:

$\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} > 0$

$\dfrac{1 }{9} +\dfrac{n}{3} > 0$

$\dfrac{n}{3} > -\dfrac{1 }{9}$

$n > -\dfrac{1 }{3}$

При $n=0$:

$x=\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi\cdot0}{3}=\boxed{\dfrac{\pi }{9}}$

Для третьей серии:

$-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} > 0$

$-\dfrac{1 }{9} +\dfrac{n}{3} > 0$

$\dfrac{n}{3} > \dfrac{1 }{9}$

$n > \dfrac{1 }{3}$

При $n=1$:

$x=-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi\cdot1}{3}=-\dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi}{3}=\boxed{\dfrac{2\pi }{9}}$

Для трех найденных корней выполняется соотношение:

$\dfrac{\pi }{12} < \dfrac{\pi }{9} < \dfrac{2\pi }{9}$

Значит, наименьший положительный корень равен п/12.

Ответ: п/12