Question

Знайдіть область визначення функції

Answer 1

Ответ:

1) D(y) = [-2;1]

2) D(y) = [-6;2)U(3;8]

Объяснение:

26.33

$1) \displaystyle y = \sqrt{6 - x - 2x {}^{2} } + \arcsin \frac{x + 1}{2}$

Подкоренное выражение должно быть только положительным.

$6 - x - 2x {}^{2} \geqslant 0 \\ \\ 2x {}^{2} + x - 6 \leqslant 0 \\ \\ D=1^2-4\cdot 2\cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \\ \\ x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm7}{4} \\ \\ x_1= \frac{3}{2} ~~~~~~~x_2 = - 2$

Отсюда:

$\displaystyle x\in\bigg[ - 2;\frac{3}{2}\bigg]$

Так как область определения функции arcsinx на промежутке [-1;1] , то решаем двойное неравенство:

$\displaystyle - 1 \leqslant \frac{x + 1}{2} \leqslant 1 \\ \\ - 1 \cdot2 \leqslant x + 1 \leqslant 1 \cdot2 \\ \\ - 1 \cdot2 - 1 \leqslant x \leqslant 1 \cdot2 - 1 \\ \\ - 3 \leqslant x \leqslant 1$

Значит :

$\displaystyle x\in[ - 3;1]$

Найдя пересечение данных промежутков , область определения функции D(у) = [-2;1]

$\displaystyle 2)y = \frac{1}{ \sqrt{x {}^{2} - 5x + 6 } } + \arccos \frac{x - 1}{7}$

Из-за того , что знаменатель не может быть равен нулю и подкоренное выражение должно быть только положительным , то нужно решить неравенство:

$\displaystyle x {}^{2} - 5x + 6 > 0 \\ \\ D=( - 5)^2-4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1 \\ \\ x_{1,2}=\frac{-( - 5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm1}{2} \\ \\ x_1 = 3~~~~~~~x_2 = 2$

С этого получаем , что :

$x \in (2;3)$

Область определения функции arccosx принадлежит промежутку [-1;1] , как и в предыдущем случае решаем двойное неравенство:

$\displaystyle - 1 \leqslant \frac{x - 1}{7} \leqslant 1 \\ \\ - 1 \cdot7 \leqslant x - 1 \leqslant 1 \cdot7 \\ \\ - 1 \cdot7 + 1 \leqslant x \leqslant 1 \cdot7 + 1 \\ \\ - 6 \leqslant x \leqslant 8$

Значит, тут:

$x \in [ - 6;8]$

Объеденив промежутки , в итоге область определения D(y) = [-6;2)U(3;8]