Question

ГЛАВНЫЕ МОЗГИ СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА!!!

Доказать что при x,y,z>0

sqrt(x/(y+z))+sqrt(y/(x+z))+sqrt(z/(x+y)) > 2​

Answer 1

Доказать, что:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2$

Доказательство:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}$

Положим, что $s=x+y+z$.

Тогда справедлива запись:

$\sqrt{\dfrac{x}{s-x}}+\sqrt{\dfrac{y}{s-y}}+\sqrt{\dfrac{z}{s-z}}$

Пусть теперь $a=x/s,\;\;b=y/s,\;\;c=z/s$.

$\sqrt{\dfrac{a}{1-a}}+\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{1-c}}$, где $a+b+c=\dfrac{x+y+z}{s}=1$.

Введем функцию:

$f(t)=\sqrt{\dfrac{t}{1-t}}$

Можно показать, что она выпукла на интервале $(0;\;1)$.

Тогда применим неравенство Йенсена:

$f(a)+f(b)+f(c)\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)$

Но $a+b+c=1$, то есть:

$f(a)+f(b)+f(c)\ge3f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.1$

Таким образом, была показана верность записи ниже:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2$

Доказано!