Question

Помните срочно пожалуйста!!!
Решить систему уравнений:
х²+у=6
у²+х=6

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}x^2+y=6\\y^2+x=6\end{array}\right;$

Поскольку правые части равны, можно приравнять левые:

$x^2+y=y^2+x\\x^2-y^2=x-y\\(x-y)(x+y)-(x-y)=0\\(x-y)(x+y-1)=0$

Произведение равно 0, когда хотя бы 1 из его множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

Тогда получим:

$\left[\begin{array}{c}x-y=0\\x+y-1=0\end{array}\right,\\\\\left[\begin{array}{c}y=x\\y=-x+1\end{array}\right;$

Здесь квадратная скобка - это совокупность. Она означает или.

То есть мы получили, что нужно рассмотреть 2 случая: y=x и y=-x+1.

$y=x:$

$x^2+x=6\\x^2+x-6=0$

Уравнение можно решить через дискриминант.

Однако в данном случае, я воспользуюсь теоремой Виета и угадаю корни: числа 2 и -3 (подробнее про т. Виета см. в других источниках).

Тогда получили пару чисел:

$(2;\;2),\;(-3;\;-3)$

Которые являются решением системы.

$y=-x+1:$

$x^2-x+1=6\\x^2-x-5=0$

В этом случае не получается подобрать целые корни, а значит надо попробовать искать их через дискриминант.

$D=1+20=21\\\sqrt{D}=\sqrt{21}$

$\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\end{array}\right;$

Итого получим вторую часть ответа:

$\left(\dfrac{1-\sqrt{21}}{2};\;\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\right),\;\left(\dfrac{1+\sqrt{21}}{2};\;\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\right)$

Если у Вас возник вопрос, откуда взялось второе число из скобок, то выше написано, что $y=-x+1$, то есть мы просто прибавили 1 к минус найденному иксу.

Система уравнений решена!