Предмет: Алгебра, автор: Unravel10007

Плачу 100 баллов!!!!

arccos(2x-1) < arccos(1/x)

Ответы

Автор ответа: reygen
4

Ответ:  ∅

Объяснение:

\displaystyle  \arccos  (2x-1) &lt; \arccos \bigg(\frac{1}{x}\bigg )

Учтем ОДЗ :

\left \{ \begin{array}{l} -1 \leqslant  2x -1 \leqslant 1 \\\\  - 1  \leqslant  \dfrac{1}{x}  \leqslant 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 0 \leqslant  x  \leqslant 1 \\\\  \dfrac{1}{x}\geqslant - 1 \\\\ \dfrac{1}{x}\leqslant 1  \end{array}  \Leftrightarrow   \\\\\\\  \left \{ \begin{array}{l} x\in [0 ; 1]   \\\\ \dfrac{1+x}{x}\geqslant 0  \\\\ \dfrac{1-x}{x}   \leqslant 0\end{array} \right \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x\in [0 ; 1]   \\\\ \dfrac{1+x}{x}\geqslant 0  \\\\ \dfrac{x-1}{x}   \geqslant  0\end{array} \right

Остается решить неравенства

\ \dfrac{1+x}{x}\geqslant 0  \\\\ \dfrac{x-1}{x}   \geqslant  0\end{array} \right

По отдельности решим каждое :

1) ~\dfrac{1+x}{x}\geqslant 0

\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm}  \put(0.87,-0.3) {\sf - 1}    \put(.3 ,0.1){ \Large  \text{ +} } \put(2.26 ,0.1){ \Large  \text{ +} } \put(1,0){\circle*{0.055}}  \put(1.25 ,0.1){ \LARGE  \text{ ---} }   \put(2.024,-0.3) {\sf 0}\put(2.05,0){\circle{0.055}}  \put(1,0.3)  \ \put(0,0){\vector (1,0){3}}  \end{picture}

x \in ( - \infty ~ ; ~ -1 ]  \cup (~0 ~ ;~ \infty ~)

2) ~\dfrac{x-1}{x}   \geqslant  0\end{array} \right

\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm}  \put(0.95,-0.3) {\sf 0}    \put(.3 ,0.1){ \Large  \text{ +} } \put(2.26 ,0.1){ \Large  \text{ +} } \put(1,0){\circle{0.055}}  \put(1.25 ,0.1){ \LARGE  \text{ ---} }   \put(2.024,-0.3) {\sf 1}\put(2.05,0){\circle*{0.055}}  \put(1,0.3)  \ \put(0,0){\vector (1,0){3}}  \end{picture}

x \in ( - \infty ~ ; ~ 0 )  \cup [1 ~ ;~ \infty ~)

Объединив данные интервалы  в   мы получим  :

x \in (- \infty ~ ; ~ - 1] \cup [1~ ;~ \infty ~)

Соответственно :

\left \{ \begin{array}{l} x\in [0 ; 1]   \\\\ \dfrac{1+x}{x}\geqslant 0  \\\\ \dfrac{x-1}{x}   \geqslant  0\end{array} \right \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x\in [0 ; 1] \\\\ x \in (- \infty ~ ; ~ - 1] \cup [1~ ;~ \infty ~)   \end{array} \right   \Leftrightarrow  \boxed{ x\in \{1\}}

Теперь мы можем перейти к решению :

Из ОДЗ  мы выяснили , что  неравенство должно иметь единственное решение  x = 1 , проверим его  ,  подстановкой в исходное неравенство

\displaystyle  \arccos  (2x-1) &lt; \arccos \bigg(\frac{1}{x}\bigg ) \\\\ 2x -1 &lt; \frac{1}{x} \\\\ 2\cdot 1 - 1 &lt; \frac{1}{1} \\\\ 1 &lt; 1  ~~ \varnothing

При подстановке единственного корня , который удовлетворял ОДЗ   , исходное неравенство не выполнилось , а значит оно не имеет решений  

#SPJ1

Похожие вопросы
Предмет: Литература, автор: nastiagoro36
Предмет: Физика, автор: skur0
Предмет: Математика, автор: roma09539591
Предмет: Математика, автор: sahar72