Question

sin3x+sinx=cosx СРОЧНО!!!!!!

Answer 1

Формула суммы синусов:

$\sin\alpha +\sin\beta =2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}$

Рассмотрим уравнение:

$\sin3x+\sin x=\cos x$

В левой части применяем формулу суммы синусов:

$2\sin\cfrac{3x+x}{2} \cos\cfrac{3x-x}{2}=\cos x$

$2\sin2x\cos x=\cos x$

Переносим все слагаемые в левую часть:

$2\sin2x\cos x-\cos x=0$

Раскладываем левую часть на множители:

$\cos x(2\sin2x-1)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$\cos x=0$

$\Rightarrow \boxed{x_1=\dfrac{\pi }{2} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$2\sin2x-1=0$

$\sin2x=\dfrac{1}{2}$

$2x=(-1)^k\arcsin\dfrac{1}{2} +\pi k$

$2x=(-1)^k\dfrac{\pi }{6} +\pi k$

$\Rightarrow \boxed{x_2=(-1)^k\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi k}{2} ,\ k\in\mathbb{Z}}$

Ответ: $\dfrac{\pi }{2} +\pi n;\ (-1)^k\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi k}{2} ,\ n,k\in\mathbb{Z}$