Question

4.Висота основи правильної трикутної піраміди дорівнює 2 см, бічне ребро
утворює з висотою піраміди кут 30°. Знайти об'єм піраміди.

Answer 1

Ответ:

Объем пирамиды равен 16/9 см³

Пошаговое объяснение:

4.Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 30°. Найти объем пирамиды.

Дано: КАВС - правильная пирамида;

АН = 2 см - высота;

∠АКО = 30°

Найти: V(КАВС)

Решение:

Объем пирамиды найдем по формуле:

$\displaystyle \bf V=\frac{1}{3}\;S_{OCH.}\cdot h$ ,

где h - высота пирамиды.

Найдем площадь основания.

• В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.

Его площадь равна:

$\displaystyle \bf S=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}$ ,

где а - сторона треугольника.

Рассмотрим ΔАНС - прямоугольный.

• Углы равностороннего треугольника равны 60°.

⇒ ∠АСВ = 60°

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle sin\angle ACH=\frac{AH}{AC} \\ \\ \frac{\sqrt{3} }{2}=\frac{2}{AC}\\ \\ AC=\frac{4}{\sqrt{3} } =\frac{4\sqrt{3} }{3}$   (см)

Сторону нашли, можем найти площадь основания:

$\displaystyle S_{OCH.}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3} }{9\cdot4}=\frac{4\sqrt{3} }{3}$   (см²)

Найдем высоту пирамиды.

Рассмотрим ΔАВС - равносторонний.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, начиная от вершины.

$\displaystyle AO=2\cdot\frac{2}{3} =\frac{4}{3}$  (cм)

Рассмотрим ΔАКО - прямоугольный.

• Котангенс угла - отношение прилежащего катета к противолежащему.

$\displaystyle ctg\;30^0=\frac{OK}{AO} \\\\ \sqrt{3} =\frac{OK\cdot3}{4} \\\\OK=\frac{\sqrt{3}\cdot4 }{3}$  (cм)

Теперь найдем объем:

$\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3} }{3} \cdot\frac{\sqrt{3}\cdot4 }{3} =\frac{16}{9}$  (см³)

#SPJ1