Question

9 класс алгебра срочно Мордкович углубленка

Докажите, что если функция у=f(x) убывает на промежут-
ке I, то на этом промежутке:
а) функция у = a + f(x) убывает;
б) функция у = k *f(x) (k > 0) убывает;
в) функция у = -f(x) возрастает;
г) функция у = k*f(x) (k < 0) возрастает.

Answer 1

Функция $y=f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений $x_2 > x_1$ из этого промежутка выполняется условие $f(x_2) < f(x_1)$. Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

По условию функция $y=f(x)$ убывает.

Пусть $x_2 > x_1$. Тогда, $f(x_2) < f(x_1)$.

а)

Рассмотрим функцию $y=a+f(x)$. Воспользуемся известным соотношением:

$f(x_2) < f(x_1)$

К обеим частям неравенства прибавим $a$. К обеим частям любого неравенства можно прибавить любое число, знак неравенства при этом не изменяется:

$a+f(x_2) < a+f(x_1)$

Заметим, что в левой части теперь записано значение рассматриваемой функции в точке $x_2$, а в правой части - в точке $x_1$.

$y(x_2) < y(x_1)$

Поскольку большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция $y=a+f(x)$ убывает.

б)

Рассмотрим функцию $y=kf(x)$ при $k > 0$. Вновь воспользуемся известным соотношением:

$f(x_2) < f(x_1)$

Обе части неравенства умножим на $k > 0$. При умножении обеих частей неравенства на положительное число, знак неравенства не изменяется:

$kf(x_2) < kf(x_1)$

Вновь в левой части оказалось записано значение рассматриваемой функции в точке $x_2$, а в правой части - в точке $x_1$.

$y(x_2) < y(x_1)$

Поскольку большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция $y=kf(x)$ при $k > 0$ убывает.

в)

Рассмотрим функцию $y=-f(x)$. Воспользуемся известным соотношением:

$f(x_2) < f(x_1)$

Обе части неравенства умножим на (-1). Поскольку происходит умножение на отрицательное число, то знак неравенства поменяется на противоположный:

$-f(x_2) > -f(x_1)$

По аналогии, в левой части мы видим значение рассматриваемой функции в точке $x_2$, а в правой части - в точке $x_1$.

$y(x_2) > y(x_1)$

Поскольку большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция $y=-f(x)$ возрастает.

г)

Рассмотрим функцию $y=kf(x)$ при $k < 0$. Воспользуемся известным соотношением:

$f(x_2) < f(x_1)$

Обе части неравенства умножим на $k < 0$. Поскольку происходит умножение на отрицательное число, то знак неравенства поменяется на противоположный:

$kf(x_2) > kf(x_1)$

В левой части записано значение рассматриваемой функции в точке $x_2$, а в правой части - в точке $x_1$.

$y(x_2) > y(x_1)$

Поскольку большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция $y=kf(x)$ при $k < 0$ возрастает.

Можно было заметить, что пункт в) является частным случаем пункта г) при $k=-1$. Поэтому, если доказан пункт г), то пункт в) доказан автоматически.