3. Для четырех точек A(2, −1, −1), B(5, −1, 2), C(3, 0, −3), D(6, 0, −1) в пространстве выяснить, лежат ли они в одной плоскости? Если точки не лежат в одной плоскости, то найти площадь грани ABC треугольной пирамиды ABCD.
Ответы
Для четырех точек A(2, −1, −1), B(5, −1, 2), C(3, 0, −3), D(6, 0, −1) в пространстве выяснить, лежат ли они в одной плоскости? Если точки не лежат в одной плоскости, то найти площадь грани ABC треугольной пирамиды ABCD.
Сначала находим уравнение плоскости по точкам А, В и С.
Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение: A(2, −1, −1), B(5, −1, 2), C(3, 0, −3).
x - 2 y + 1 z + 1
5 - 2 -1 – (-1) 2 - (-1)
3 - 2 0 – (-1) -3 – (-1) = 0
x - 2 y + 1 z + 1
3 0 3
1 1 -2 = 0
(x – 2)(0·(-2)-3·1) – (y + 1)(3·(-2)-3·1) + (z + 1)(3·1-(-2)·0) = 0
(-3)(x – 2) + 9(y + 1) + 3(z + 1) = 0
- 3x + 9y + 3z + 18 = 0 или, сократив на -3:
x - 3y - z - 6 = 0
Получено уравнение плоскости x - 3y - z - 6 = 0.
Подставим в него координаты точки D(6, 0, −1).
6 – 3*0 – (-1) – 6 = 1, не равно 0 – значит, точка D не лежит в плоскости АВС.
Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения с учётом полученного нормального вектора плоскости (- 3; 9; 3):
S(ABC) = (1/2)√((-3)² + 9² + 3²) = (1/2)√(9 + 81 + 9) = (3/2)√11 ≈ 4,975 кв. ед.