Question

помогите решить задания. ДАЮ 80 БАЛЛОВ!!!

Answer 1

Ответ:

а)  Применяем формулы косинуса двойного угла :

$\bf cos2x=1-2sin^2x=2cos^2x-1\ \ \Rightarrow \ \ \ 1-cos2x=sin^2x\ ,\ 1+cos2x=cos^2x$

Также применяем формулу синуса двойного угла и косинуса разности .

$\bf \dfrac{(1-cos2x)cos(45^\circ +2x)}{2sin^22x-sin4x}=\dfrac{2sin^2x\cdot cos(45^\circ +2x)}{2sin^22x-2\, sin2x\cdot cos2x}=\\\\\\=\dfrac{2sin^2x\cdot cos(45^\circ +2x)}{2sin2x(sin2x-cos2x)}=\dfrac{2sin^2x\cdot cos(45^\circ +2x)}{2\cdot 2sinx\cdot cosx(sin2x-cos2x)}=\\\\\\=\dfrac{sinx\cdot (cos45^\circ \cdot cos2x-sin45^\circ \cdot sin2x)}{2\, cosx\cdot (sin2x-cos2x)}=\dfrac{sinx\cdot (\frac{\sqrt2}{2}\cdot cos2x-\frac{\sqrt2}{2}\cdot sin2x)}{2\, cosx\cdot (sin2x-cos2x)}=$

$\bf =\dfrac{sinx\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot (cos2x-sin2x)}{-2\, cosx\cdot (cos2x-sin2x)}=-\dfrac{\sqrt2\cdot sinx}{2\cdot 2\cdot cosx}=-\dfrac{\sqrt2}{4}\cdot tgx$  

б)  Доказать тождество .

$\bf \dfrac{1-sin2x}{1+sin2x}=tg^2\Big(\dfrac{\pi}{4}-x\Big)$  

Применим формулу  $\bf sin2x=cos(90^\circ -2x)$  .

$\bf \dfrac{1-sin2x}{1+sin2x}=\dfrac{1-cos(90^\circ -2x)}{1+cos(90^\circ -2x)}=$    

Теперь из формулы косинуса двойного угла выразим разность

 $\bf 1-cos\alpha =2sin^2\dfrac{\alpha }{2}\ \ ,\ \ 1+cos\alpha =2cos^2\dfrac{\alpha }{2}$    .

$\bf =\dfrac{2sin^2(45^\circ-x)}{2cos^2(45^\circ -x)}=tg^2(45^\circ -x)=tg^2\Big(\dfrac{\pi }{4}-x\Big)$  

Тождество доказано .

в)  Вычислить .

$\bf cos36^\circ -sin18^\circ =cos(90^\circ -54^\circ )-sin18^\circ =sin54^\circ -sin18^\circ =\\\\\star \ \ sin\alpha -sin\beta =2sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\ \ \star \\\\\\=2sin18^\circ \cdot cos36^\circ =\dfrac{2sin18^\circ \cdot cos18^\circ }{cos18^\circ }\cdot cos36^\circ =\dfrac{sin36^\circ }{cos18^\circ }\cdot cos36^\circ =$  

$\bf =\dfrac{2sin36^\circ \cdot cos36^\circ }{2cos18^\circ }=\dfrac{sin72^\circ }{2\, cos(90^\circ -72^\circ )}=\dfrac{sin72^\circ }{2\, sin72^\circ }=\dfrac{1}{2}$    

г) Вычислить  х+2у , если    $\bf cosx=\dfrac{7}{\sqrt{50}}\ \ ,\ \ \ tgy=\dfrac{1}{3}$     .

   $\bf x+2y=arccos\dfrac{7}{\sqrt{50}}+2\, arctg\dfrac{1}{3}\approx arccos0,9899+2\cdot arctg0,3333=\\\\\\=0,1422+2\cdot 0,3218=0,7858$