Question

Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя. (интересно решение)

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf \lim_{x \to1} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\right)=-\frac{1}{2}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя.

$\displaystyle \bf \lim_{x \to1} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\right)$

• Правило Лопиталя — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞. Суть правила: предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$\displaystyle \lim_{x \to1} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\right)=\lim_{x \to1} \left(\frac{lnx-x+1}{(x-1)\cdot lnx}\right)=\frac{0-1+1}{0\cdot0} =\frac{0}{0}$

Неопределенность 0/0.

Применим правило Лопиталя:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}-1 }{1\cdot lnx+(x-1)\cdot \frac{1}{x} } = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1-x}{x} }{lnx+1-\frac{1}{x} } =\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{1-x }{x\cdot lnx+x-1 } =\frac{1-1}{1\cdot0+1-1} =\frac{0}{0}$

Опять получили неопределенность 0/0.

Применим еще раз правило Лопиталя:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-1}{1\cdot lnx+x\cdot\frac{1}{x} +1} = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{lnx+1+1} =\frac{-1}{0+2} =-\frac{1}{2}$