Question

Теория вероятности, помогите пожалуйста, 85 БАЛЛОВ!
Случайный эксперимент заключается в 5-кратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность события:
a) «выпадет ровно 3 орла»
б) «выпадет не менее 2, но не более 4 орлов»
в) «выпадет либо 1 решка, либо 3 решки»
г) «орел выпадет нечетное число раз»;
д) «решка выпадет не менее 3 раз»;
e) «либо ровно 2 раза выпадет решка, либо ровно 1 раз выпадет орел»

Answer 1

Ответ:

Речь здесь идёт о Биномиальном распределении. Пусть X - дискретная случайная величина количества выпадений орлов или решек (здесь вероятность выпадения орла и решки одинакова, поэтому, например, вероятность выпадения 2 орлов равна вероятности выпадения 2 решек).

X ~ Bin(5,0.5), где 5 - количество бросков, а 0.5 вероятность выпадения орла или решки.

Следовательно X имеет следующую вероятностную функцию массы:

P(X=x) = $\left \ {{n} \atop {k}} \right * p^{k}*(1-p)^{n-k}$, где x (малое) - количество выпавших орлов или решек, p - вероятность, n - общее количество бросков, k - количество нужных нам результатов, а $\left \ {{n} \atop {k}} \right$ - запись комбинаций из n по k (здесь по другому никак), формула комбинаций:$\left \ {{n} \atop {k}} \right=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Дальше просто посчитать, подставив необходимые значения в формулу:

Посчитаем вероятность всех необходимых событий сразу:

P(X=1) = $\left \ {{5} \atop {1}} \right * 0.5^{1}*(1-0.5)^{5-1}=5*0.5^1*0.5^4=5*0.5^5=0.15625$

P(X=2) = $\left \ {{5} \atop {2}} \right * 0.5^{1}*(1-0.5)^{5-2}=5*0.5^2*0.5^3=10*0.5^5=0.3125$

P(X=3) = $\left \ {{5} \atop {3}} \right * 0.5^{3}*(1-0.5)^{5-3}$ = $10*0.5^3*0.5^2=10*0.5^5 =0.3125$

P(X=4) = $\left \ {{5} \atop {4}} \right * 0.5^{4}*(1-0.5)^{5-4}=5*0.5^4*0.5^1=5*0.5^5=0.15625$

P(X=5) = $\left \ {{5} \atop {5}} \right * 0.5^{5}*(1-0.5)^{5-5}=5*0.5^5*0.5^0=5*0.5^5=0.15625$

Далее просто сложим необходимые вероятности:

а) P(X=3) = 0.3125

б) P($2\leq X\leq 4$) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)= 0.3125 + 0.3125 + 0.15625 = 0.78125

в) P(X=3)+P(X=1) = 0.3125 + 0.15625 = 0.46875

г) P(X=1) + P(X=3) + P(X=5) = 0.15625 + 0.3125 + 0.15625 = 0.625

д) $P(X\geq 3)=$ P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.3125 + 0.15625 + 0.15625 = 0.625

е) P(X=2) + P(X=1) = 0.3125 + 0.15625 = 0.46875