Предмет: Математика, автор: iajwkj

МЕГА СРОЧНО!!!!
Чи можна стверджувати, що при будь-якому натуральному значенні и значення виразу (17n-1)×(17n+1)-(15n+13)×(15n-13) кратне 8 ?

Ответы

Автор ответа: Mashenkamizani

(17n-1)*(17n+1)-(15n+13)*(15n-13)= 17n*17n - 15n*15n - 1 - (-169) = 289n - 225n - 1 + 169 = 64n + 168
64 кратне 8, тому яке б число не було підставлено, результат буде кратним 8.

iajwkj: огромное спасибо

Mashenkamizani: Тобто, і 64, і 168 кратне 8. Пропустила це

yugolovin: потерян квадрат n

Mashenkamizani: Он не потерян. Этой части разложения достаточно для проверки утверждения. Формула не становится неверной

yugolovin: 17n*17n=289n^2

Mashenkamizani: Тьху, вы правы. Прошу прощения)
289n^2 — 225n^2 - 1 + 169 = 64n^2 + 168
Ну, тогда, чтобы проще было считать, лучше разложить до конца
= 8*8n^2 + 8*21 = 8*(8n^2 + 21)

Автор ответа: yugolovin

Ответ:

Доказано, что это выражение кратно 8 при любом натуральном n (даже при любом целом n).

Пошаговое объяснение:

1-й способ. Преобразуем:

(17n-1)(17n+1)-(15n-13)(15n+13)=(17n)²-1-((15n)²-13²)=((17n)²-(15n)²)-1+169=

(17n-15n)(17n+15n)+168=2n·32n+168=8·8n²+8·21=8(8n²+21)⇒ это число кратно 8.

2-й способ (с помощью сравнений по модулю 8).

17n-1 = 16n+n-1 ≡ n-1 (mod 8); 17n+1 ≡ n+1 (mod 8) ⇒

(17n-1)(17n+1) ≡ (n-1)(n+1) = n²-1.

15n+13 = 16n+16-n-3 ≡-n-3 (mod 8); 15n-13=16n-16-n+3 ≡-n+3 (mod 8)⇒

(15n+13)(15n-13) ≡(-n-3)(-n+3) = n²-9 = -8+n²-1 ≡ n²-1 (mod 8)⇒