Question

Побудувати графіки функції y = (4 - 2x)/(1 - x ^ 2)

Answer 1

Ответ:

1. D(y) = (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞)

2.  функция не является четной или нечетной

3. Точка пересечения с осью Оу (0; 4); Точка пересечения с осью Ох (2; 0)

4.  x = -1; x = 1 - вертикальные асимптоты;  y = 0 - горизонтальная асимптота.

5. Функция убывает на промежутках: (-∞;-1); (-1; 0,3]; [3,7; +∞)

Функция возрастает на промежутках: [0,3; 1); (1; 3,7]

x min = 0,3;   x max = 3,7.

6. Функция вогнута на промежутках: (-1; 1); [5,5; +∞)

Функция выпукла на промежутках: (-∞; -1); (1; 5,5].

у(5,5) ≈ 0,2

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

$\displaystyle \bf y=\frac{4-2x}{1-x^2}$

1. Область определения функции.

1 - х² ≠ 0  или   (1 - х)(1 + х) ≠ 0  ⇒ х ≠ ± 1

D(y) = (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞)

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle y(-x)=\frac{4-2\cdot(-x)}{1-(-x)^2}=\frac{4+x}{1-x^2}$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x)  ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями.

1) с осью Оу  ⇒  х = 0

$\displaystyle y=\frac{4-0}{1-0}=4$

Точка пересечения с осью Оу (0; 4)

2) с осью Ох  ⇒  у = 0

4 - 2х = 0  ⇒ х = 2

Точка пересечения с осью Ох (2; 0)

4. Асимптоты.

Вертикальные:

точки разрыва {-1; 1}

$\displaystyle \lim_{x \to \pm1} \frac{4-2x}{1-x^2}= \pm\infty$

⇒ x = -1; x = 1 - вертикальные асимптоты.

Наклонные: у = kx + b.

$\displaystyle k = \lim_{x \to \infty} \frac{4-2x}{(1-x^2)\cdot x}=0\\ \\ b= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{4-2x}{1-x^2}-0\cdot x \right)= 0$

⇒ y = 0 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle y'=\frac{-2\cdot(1-x^2)-(4-2x)\cdot(-2x)}{(1-x^2)^2}=\\ \\\\=\frac{-2+2x^2+8x-4x^2}{(1-x^2)^2} =\frac{-2x^2+8x-2}{(1-x^2)^2} =\\\\=\frac{-2(x^2-4x+1)}{(1-x^2)^2}$

Найдем корни.

$\displaystyle x^2-4x+1=0\\\\D=16-4=12;\;\;\;\sqrt{D}=2\sqrt{3} \\\\x_1=\frac{4+2\sqrt{3} }{2}=2+\sqrt{3}\approx 3,7;\;\;\;\;\;x_2=\frac{4-2\sqrt{3} }{2}=2-\sqrt{3}\approx 0,3$

Отметим корни на числовой оси. Не забываем про точки, в которых функция не существует.

$---(-1)---[0,3]+++(1)+++[3,7]---$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция убывает на промежутках: (-∞;-1); (-1; 0,3]; [3,7; +∞)

Функция возрастает на промежутках: [0,3; 1); (1; 3,7]

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = 0,3;   x max = 3,7.

y(0,3) ≈ 3,7;     y(3,7) ≈ 0,3

6) Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$\displaystyle y''=\frac{(-4x+8)(1-x^2)^2-(-2x^2+8x-2)\cdot 2(1-x^2)\cdot(-2x)}{(1-x^2)^4} =\\\\=\frac{(-4x+8)(1-x^2)+(-2x^2+8x-2)\cdot 4x}{(1-x^2)^3}=\\\\=\frac{-4x+4x^3+8-8x^2-8x^3+32x^2-8x}{(1-x^2)^3} =\\\\=\frac{-4x^3+24x^2-12x+8}{(1-x^2)^3}$

$\displaystyle y''=0;\;\;\;\;\;-4x^3+24x^2-12x+8=0$

Уравнение имеет один действительный корень (решено с помощью онлайн калькулятора):

х ≈ 5,5;     х ≠ -1;     х≠ 1.

Найдем знаки второй производной на промежутках:

$---(-1)+++(1)---[5,5]+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция вогнута на промежутках: (-1; 1); [5,5; +∞)

Функция выпукла на промежутках: (-∞; -1); (1; 5,5].

• Если в точке вторая производная меняет знак, то в данной точке - перегиб.

х перегиба = 5,5

у(5,5) ≈ 0,2

Строим график.

#SPJ1