Question

написать уравнения прямых, проходящих соответственно через точки (0,4) и (0,5), если известно, что уравнение биссектрисы угла между ними: 2x-2y+1=0

Answer 1

Ответ:

$7x+9y-36=0,9x+7y-35=0$

Пошаговое объяснение:

Если прямая проходит через некоторую точку $(x_0,y_0)$, то её уравнение можно записать в виде $y-y_0=k(x-x_0)$ (при подстановке координат точки в уравнение получим равенство 0 = 0, то есть точка действительно принадлежит прямой). В нашем случае имеем уравнения $y-4=k_1x$ и $y-5=k_2x$, или, если перенести в одну сторону, $k_1x-y+4=0,k_2x-y+5=0$.

Прежде всего, точка пересечения прямых должна лежать на биссектрисе, то есть:

$\begin{cases}y=k_1x+4,\\y=k_2x+5,\\y=x+\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+\frac{1}{2}=k_1x+4,\\x+\frac{1}{2}=k_2x+5\end{cases}\begin{cases}(k_1-1)x=-\frac{7}{2},\\(k_2-1)x=-\frac{9}{2}\end{cases}\begin{cases}x=-\frac{7}{2(k_1-1)},\\x=-\frac{9}{2(k_2-1)}\end{cases}$

На $(k_1-1)$ и $(k_2-1)$ можем делить, так как равенство их нулю даёт параллельность прямых биссектрисе, что не удовлетворяет смыслу задачи. Из полученной системы выразим связь между коэффициентами наклона прямой:

$-\dfrac{7}{2(k_1-1)}=-\dfrac{9}{2(k_2-1)}\Leftrightarrow\dfrac{k_1-1}{7}=\dfrac{k_2-1}{9}\Leftrightarrow k_2=\dfrac{9}{7}k_1-\dfrac{2}{7}\ (*)$

Биссектриса — это геометрическое место точек, равноудалённых от данных прямых. Расстояние от точки до прямой находится по формуле  $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. В нашем случае имеем равенство:

$\dfrac{|k_1x-y+4|}{\sqrt{k_1^2+1}}=\dfrac{|k_2x-y+5|}{\sqrt{k_2^2+1}}$

Рассмотрим эскиз нашей конструкции, чтобы правильно раскрыть модули. Биссектриса находится либо ниже, либо ниже обеих прямых одновременно, то есть одновременно выполняются неравенства $y\leq k_1x+4,y\leq k_2x+5$ или $y\geq k_1x+4,y\geq k_2x+5$. Следовательно, модули всегда раскрываются с одинаковым знаком. Получаем:

$\dfrac{k_1x-y+4}{\sqrt{k_1^2+1}}=\dfrac{k_2x-y+5}{\sqrt{k_2^2+1}}\\k_1\sqrt{k_2^2+1}x-\sqrt{k_2^2+1}y+4\sqrt{k_2^2+1}=k_2\sqrt{k_1^2+1}x-\sqrt{k_1^2+1}y+5\sqrt{k_1^2+1}\\(k_1\sqrt{k_2^2+1}-k_2\sqrt{k_1^2+1})x+(\sqrt{k_1^2+1}-\sqrt{k_2^2+1})y+4\sqrt{k_2^2+1}-5\sqrt{k_1^2+1}=0$

Уравнение биссектрисы имеет вид $2x-2y+1=0$, следовательно, коэффициенты полученного уравнения пропорциональны коэффициентам уравнения биссектрисы:

$\begin{cases}k_1\sqrt{k_2^2+1}-k_2\sqrt{k_1^2+1}=2t,\\ \sqrt{k_1^2+1}-\sqrt{k_2^2+1}=-2t,\\ 4\sqrt{k_2^2+1}-5\sqrt{k_1^2+1}=t\end{cases}$

Поскольку мы знаем связь между $k_2$ и $k_1$, достаточно взять только два последних уравнения. Сделаем замену $\sqrt{k_1^2+1}=u,\sqrt{k_2^2+1}=v$:

$\displaystyle \left \{ {{u-v=-2t,} \atop {4v-5u=t}} \right. \Rightarrow u-v=-8v+10u\Leftrightarrow 7v=9u$

Из первого уравнения:

$9u-9v=-18t\\7v-9v=-18t\\-2v=-18t\\v=9t\Rightarrow u=7t$

Обратная замена:

$\displaystyle \left \{ {{\sqrt{k_1^2+1}=7t,} \atop {\sqrt{k_2^2+1}=9t}} \right. \left \{ {{k_1^2=49t^2-1} \atop {k_2^2=81t^2-1}} \right.$

Подставим из уравнения (*) $k_2=\dfrac{9k_1-2}{7}$

$\displaystyle \left \{ {{k_1^2=49t^2-1|\cdot\frac{81}{49}} \atop {\left(\dfrac{9k_1-2}{7}\right)^2=81t^2-1}} \right. \left \{ {{\dfrac{81}{49}k_1^2=81t^2-\dfrac{81}{49}} \atop {\left(\dfrac{9k_1-2}{7}\right)^2=81t^2-1}} \right.$

Вычтем из второго уравнения первое:

$\left(\dfrac{9k_1-2}{7}\right)^2-\dfrac{81}{49}k_1^2=\dfrac{32}{49}|\cdot 49\\(9k_1-2)^2-81k_2^2=32\\(9k_1-2-9k_1)(9k_1-2+9k_1)=32\\-2(18k_1-2)=32\\-36k_1+4=32\\-36k_1=28\\k_1=-\dfrac{7}{9}$

Тогда $k_2=\dfrac{9}{7}k_1-\dfrac{2}{7}=\dfrac{9}{7}\cdot\left(-\dfrac{7}{9}\right)-\dfrac{2}{7}=-\dfrac{9}{7}$

Имеем уравнения $y=-\dfrac{7}{9}x+4,y=-\dfrac{9}{7}x+5$, или, домножив на знаменатели и перенеся всё в одну часть: $7x+9y-36=0,9x+7y-35=0$.