Question

Объясните пожалуйста почему (х^2 + 4/х^2) стало (х - 2/х)^2 + 4

Answer 1

Автор решения выделил полный квадрат, считая это действие очевидным.

Поясню, что произошло: $x^2+\dfrac{4}{x^2}$ — это почти квадрат разности, не хватает только удвоенного произведения (формула квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$). У нас есть $a^2$ — это $x^2$ — и $b^2$ — это $\dfrac{4}{x^2}$. Тогда $a=x,b=\dfrac{2}{x}$. Чтобы получить выражение $a^2-2ab+b^2$ из $a^2+b^2$, необходимо отнять $2ab$, но поскольку этого $2ab$ в уравнении не было, его нужно вернуть, то есть прибавить обратно. Вот и получаем, что $a^2+b^2=a^2-2ab+b^2+2ab$. Первые три слагаемых в правой части как раз и представляют квадрат разности, то есть $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$. Теперь подставляем $a=x,b=\dfrac{2}{x}$: $x^2+\dfrac{4}{x^2}=\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2+2\cdot x\cdot\dfrac{2}{x}=\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2+4$.

То, что мы сделали, называется выделением полного квадрата. Так автор и получил такой переход.