Question

Привет, помогите понять задачу про момент сил.

Чтобы составить уравнение равенства моментов сил, нужно выбрать ось. Ось можно выбрать на любой части доски. Если выбрать ось там где доска касается поверхности, все понятно MF = Mmg и вращения нет.

Но что будет если ось взять по центру или вообще там, где действует сила F? Можете помочь расписать уравнение для этих двух случаев?

Answer 1

Для начала предлагаю показать на рисунке все силы, действующие на доску. Про F и mg понятно: первая сила дана, другая направлена вертикально вниз из центра доски. Но не стоит забывать и про третью силу - силу реакции опоры. Причём в данном случае у этой силы две составляющей: вертикальная Ny (не даёт провалиться доске вниз) и горизонтальная Nx (не даёт стержню ускользнуть в сторону). См. рисунок.

ВАЖНО: горизонтальная составляющая силы реакции опоры будет только, если доска закреплена в точке опоры. Если доска не закреплена, но имеется трение, то Nx=Fтр и Ny=N. В противном случае Nx=0, и доска начнёт скользить влево.

Теперь рассмотрим правило моментов для осей, перпендикулярных плоскости рисунка, проходящих через точки A, B, C.

Пусть длина доски l, а наклонена она под углом α к поверхности

А) Моменты сил Nx и Ny равны нулю, так как плечи этих сил равны нулю. Тогда правило моментов выглядит так: M(mg)=M(F)
Момент силы F равен M(F)=Fl. Плечо силы mg равно $\frac{l*cos\alpha }{2}$, не l/2, так как плечо - расстояние от взятой нами точки до прямой, содержащей вектор силы. Тогда момент mg равен $M(mg)=\frac{mgl*cos\alpha }{2}$. В итоге получаем уравнение
$Fl=\frac{1}{2} mgl*cos\alpha \\2F= mg*cos\alpha$
Если угол альфа не дан, но даны F и mg, то отсюда можно найти косинус угла и применять его далее.
$cos\alpha =\frac{2F}{mg}$

B) В точке B плечо силы mg равно 0, значит и момент равен 0.
Тогда правило моментов имеет вид: M(F)+M(Nx)=M(Ny)
Плечо силы F равно l/2, значит M(F)=Fl/2. Плечо Nx равно $\frac{l*sin\alpha }{2}$, а плечо Ny равно $\frac{l*cos\alpha }{2}$, значит моменты $M(N_{x} )=\frac{1}{2} N_{x} l*sin\alpha$ и $M(N_{y} )=\frac{1}{2} N_{y} l*cos\alpha$.
В итоге получаем уравнение

$\frac{1}{2} Fl+\frac{1}{2} N_{x} l*sin\alpha=\frac{1}{2} N_{y} l*cos\alpha\\F+ N_{x} *sin\alpha= N_{y} *cos\alpha$

С) В точке С плечо силы F равно нулю, значит и M(F)=0.
Здесь правило моментов такое: M(mg)+M(Nx)=M(Ny).
Плечо силы тяжести равно $\frac{l*cos\alpha }{2}$, значит $M(mg)=\frac{1}{2} mgl*cos\alpha$.
Плечи для Nx и Ny равны соответственно l*sinα и l*cosα. Тогда M(Nx)=Nx*l*sinα и M(Ny)=Ny*l*cosα.
Получаем уравнение
$\frac{1}{2}mgl*cos\alpha +N_{x} l*sin\alpha =N_{y} l*cos\alpha\\mg*cos\alpha +2N_{x} *sin\alpha =2N_{y} *cos\alpha$