Question

Найдите cos(α), где α – угол, образованный прямой, заданной общими уравнениями
{ x + 6 y − 5 = 0
{− 10 x − 3 z + 8 = 0
с положительным направлением оси Ox.
В ответ запишите 3933 ⋅ cos(2α).

Answer 1

Находим направляющий вектор прямой.

Для этого вычислим векторное произведение.

i         j      k |      i       j  

1       6      0 |      1      6

-10    0     -3 |    -10    0 = -18i + 0j + 0k + 3j - 0i + 60k =

                                    = -18i + 3j + 60k.

Найден направляющий вектор прямой: (-18; 3; 60).

Теперь определим координаты точки, принадлежащей прямой.

При этом примем z = 0.

Решаем систему из двух уравнений.

{ x + 6 y − 5 = 0

{− 10 x + 8 = 0     х = 8/10 = 4/5 = 0,8.  у = (5 – х)/6 = (5 – 0,8)/6 = 4,2/6 = 0,7

Найдена точка (0,8; 0,7; 0).

По этой точке и найденному направляющему вектору получаем уравнение

(x – 0,8)/(-18) = (y – 0.7)/3 = z/60.

Угол между прямой  и осью Ох находим по формуле

cos α = l/√(l² + m² + n²) = -18//√((-18)² + 3² + 60²) = -18/√(324 + 9 + 3600) =

= -18/√3933.

Находим синус α: sin α = √(1 - (cos α)²) = √(1 - 0,08238) = 0,95792.

cos 2α = cos² α - sin² α = 0,08238 - 0,957925 = -0,83524.

Ответ:  3933 ⋅ cos(2α) = 3933*(-0,8352) = -3285.