Question

sin3x + sinx = 2sin²x
Срочно даю 40 баллов​

Answer 1

Відповідь:  дві серії розв'язків ( підкреслив ) .

Пояснення:

    sin3x + sinx = 2sin²x ;

    2sin2xcosx = 2sin²x ;

    sin2xcosx - sin²x = 0 ;

    2sinxcosxcosx - sin²x = 0 ;

    sinx( 2cos²x - sinx ) = 0 ;

    sinx = 0 ;                або     2cos²x - sinx  = 0 ;

    x = πn , nЄ Z ;                2( 1 - sin²x ) - sinx  = 0 ;

                                         2 - 2sin²x  - sinx  = 0 ;  

                                         2sin²x + sinx - 2 = 0 ;  заміна z = sinx , ( | z | ≤ 1 )

                                         2z² + z - 2 = 0 ;

                                          z₁ = (- 1 - √17 )/4 < - 1 ;     z₂ = (- 1 + √17 )/4 ;

                                                  sinx = (- 1 + √17 )/4 ;

                                                  x = (- 1 )ⁿarcsin(- 1 + √17 )/4 + πn , nЄ Z  .

                                                               

Answer 2

Решение.

Тригонометрическое уравнение .

  $\bf sin3x+sinx=2sin^2x$

Применим формулу тройного угла:   $\bf sin3x=3sinx-4sin^3x$  .

 $\bf (3sinx-4sin^3x)+sinx=2sin^2x\\\\4sin^3x+2sin^2x-4sinx=0\\\\2sinx\cdot (2sin^2x+sinx-2)=0\\\\a)\ \ sinx=0\ \ \to \ \ \ x=\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ 2sin^2x+sinx-2=0\ \ \ ,\ \ \ |sinx|\leq 1\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=1^2+4\cdot 2\cdot 2=17\\\\sinx=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}\approx -1,28 < -1\ \ ,\ \ sinx=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}\approx 0,78\ \ ,\\\\x=(-1)^{k}\cdot arcsin\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\pi k\ \ ,\ k\in Z$  

Ответ:   $\boldsymbol{x=\pi n\ ,\ \ x=(-1)^{k}\cdot arcsin\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\pi k\ \ ,\ n,k\in Z\ .}$