Question

Решите уравнение: 8∙(3^2+1)∙(3^4+1)∙(3^8+1)∙…∙(3^128+1)∙x=3^256-1

Answer 1

$8\cdot(3^2+1)\cdot(3^4+1)\cdot(3^8+1)\cdot\ldots\cdot(3^{128}+1)\cdot x=3^{256}-1$

Представим первый множитель 8 в виде $8=3^2-1$:

$(3^2-1)\cdot(3^2+1)\cdot(3^4+1)\cdot(3^8+1)\cdot\ldots\cdot(3^{128}+1)\cdot x=3^{256}-1$

Тогда в левой части несколько раз подряд можно применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\left(\left(3^2\right)^2-1^2\right)\cdot(3^4+1)\cdot(3^8+1)\cdot\ldots\cdot(3^{128}+1)\cdot x=3^{256}-1$

$(3^4-1)\cdot(3^4+1)\cdot(3^8+1)\cdot\ldots\cdot(3^{128}+1)\cdot x=3^{256}-1$

$\left(\left(3^4\right)^2-1^2\right)\cdot(3^8+1)\cdot\ldots\cdot(3^{128}+1)\cdot x=3^{256}-1$

$(3^8-1)\cdot(3^8+1)\cdot\ldots\cdot(3^{128}+1)\cdot x=3^{256}-1$

...

Продолжая по аналогии, получим:

$\left(\left(3^{128}\right)^2-1^2\right)\cdot x=3^{256}-1$

$(3^{256}-1)\cdot x=3^{256}-1$

$x=\dfrac{3^{256}-1}{3^{256}-1}$

$x=1$

Ответ: 1