Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

Решений нет.

Объяснение:

Нужно решить уравнение

                               $(x+1)^8+(x^2+1)^4=2x^4.$

Замечаем, что x=0 не является решением (2≠0), поэтому можно считать, что x≠0, и поделить левую и правую части на $x^4:$

                                 $\dfrac{(x+1)^8}{x^4}+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^4=2.$

Первое слагаемое при любом значении x≠0 больше либо равно 0.

Разберемся со вторым слагаемым. Здесь возможны разные подходы, разберемся не торопясь с некоторыми из них.

1-й подход. Воспользуемся неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел:

                                              $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.$

Для доказательства этого неравенства можно привести его к виду

                                            $\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\ge 0.$

Поэтому при x>0 имеем       $x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}};\ \ x+\dfrac{1}{x}\ge 2.$

Если же $x < 0\Rightarrow x=-t,\ \ t > 0;\ \ x+\dfrac{1}{x}=-\left(t+\dfrac{1}{t}\right)\le -2.$

Вывод: при любом x    $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^4\ge 2^4 > 2.$ Поэтому левая часть больше 2, и уравнение решений не имеет.

2-й подход. Для оценки выражения  $x+\dfrac{1}{x}$  можно использовать производную. Оставим этот способ для желающих.

3-й подход. $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^4=\left(x^2+2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2 > 2^2 > 2.$