Предмет: Математика, автор: gesh8082

Довести, що 11^288 – 1 ділиться без залишку на 323

Ответы

Автор ответа: reygen
1

Малая теорема ферма :

Если p - простое число и a - целое число, такое, что a, p  взаимно простые , то  {a}^{p-1}\equiv 1~(mod \ p)

В  нашем же случае

{a}^{p-1}-1\equiv 1-1~(mod \ p)

a^{p-1}  - 1\equiv   0 (\mod p)

Заметим что

323 = 340 - 17 = 17 · (20-1) = 17 · 19

Проверяем по отдельности , делимость на 19  и 17

1.1Проверим делится ли 11^{288} -1  на   19  

Раскладываем  11^{288} -1  по формуле разностей квадратов

11^{288} -1 = (11^{144} +1)(11 ^{144}-1) = (11^{144} +1)(11 ^{72}+1) (11 ^{72}-1)= \\\\ =  (11^{144} +1)(11 ^{72}+1) (11 ^{36}+1)(11 ^{36}-1)= \\\\=(11^{144} +1)(11 ^{72}+1) (11 ^{36}+1)(11 ^{18}+1)(11^{18}-1)

Рассмотрим скобку в которой   11^{18} -1  , можно легко заметить что к ней применима теорема Ферма

11^{18} -1 = 11^{19-1}-1\equiv     0(\mod 19) \Rightarrow  \boxed{*~ 11^{288}-1 \equiv     0(\mod 19) }  

1.2Теперь проверим  делится ли  11^{288} -1 на 17

Раскладываем  11^{288} -1  по формуле разностей кубов

11^{288} - 1 =  (11^{96}  -1 )(11^{192} + 11^{96}+1) =\\\\= (11^{32}-1)(11^{64}+ 11^{32} +1) (11^{192} + 11^{96}+1)

Разложим  11^{32}-1   по формуле разностей квадратов

11^{32} -1 = (11^{16 } +1)(11^{16}-1)

Рассмотрим множитель     11^{16}-1  ,  к нему также применима теорема Ферма

11^{16} -1 = 11^{17-1}-1\equiv     0(\mod 17) \Rightarrow  \boxed{**~ 11^{288}-1 \equiv     0(\mod 17) }

Таким образом :

Из  *   и  **   мы доказали , что   11^{288}-1 \equiv     0(\mod 323)

#SPJ1

Похожие вопросы