Question

$x {}^{2} - 7x + 1 = 0$
x1 and x2 (first and second)
$\sqrt{x1} + \sqrt{x2 } =$
=?​

Answer 1

Ответ:

3.

Пошаговое объяснение:

1-й способ. Заметим во-первых, что уравнение имеет два корня, поскольку дискриминант D=(-7)²-4·1·1>0. Для решения задачи воспользуемся формулами Виета:

          если $x_1$ и $x_2 \ -$корни уравнения $x^2+px+q=0,$ то

                                 $x_1+x_2=-p;\ \ x_1x_2=q.$

В нашем случае $x_1+x_2=7;\ \ x_1x_2=1.$ Заметим кстати, что оба корня будут положительными (если x≤0⇒ -7x≥0⇒ x²-7x+1>0), поэтому из них можно извлекать корень; более того, эти корни будут положительными, а тогда и их сумма будет положительной.

Поэтому

$\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=7+2=9\Rightarrow \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\pm 3.$

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2} > 0\Rightarrow \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3.$

2-й способ.

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{\dfrac{7+\sqrt{45}}{2}}+\sqrt{\dfrac{7-\sqrt{45}}{2}}= \sqrt{\dfrac{14+2\sqrt{9\cdot 5}}{4}}+\sqrt{\dfrac{14-2\sqrt{9\cdot 5}}{4}}=$

$=\dfrac{\sqrt{3^2+2\cdot 3\cdot \sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}}{2}=$

$=\dfrac{\sqrt{(3+\sqrt{5})^2}}{2} +\dfrac{\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}}{2}=\dfrac{|3+\sqrt{5}|+|3-\sqrt{5}|}{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{2}=3.$

Такое раскрытие модуля оправдывается тем, что $3-\sqrt{5} > 0.$