Question

По правилу Лопиталя через производные:
1. lim x стремится 0 2x^3+4x/2x^2+5x
2. lim x стремится 1 3x^3-3/2x-2

Answer 1

Ответ:

1.   $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x^3+4x}{2x^2+5x}=\frac{4}{5}$

2.   $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x^3-3}{2x-2}=\frac{9}{2}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

1.   $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x^3+4x}{2x^2+5x}$

2.   $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x^3-3}{2x-2}$

• Правило Лопиталя:
• Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если этот предел существует.

1.

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x^3+4x}{2x^2+5x}= \frac{2\cdot 0+4\cdot0}{2\cdot0+5\cdot0}=\frac{0}{0}$

Получили неопределенность 0/0.

Используем правило Лопиталя, то есть рассмотрим предел отношения производных функций числителя и знаменателя:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\cdot 3x^2+4\cdot 1}{2\cdot 2x+5\cdot 1}= \lim_{x \to 0} \frac{6x^2+4}{4x+5} =\frac{4}{5}$

2.

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x^3-3}{2x-2}=\frac{3\cdot 1-3}{2\cdot1-2} =\frac{0}{0}$

Получили неопределенность 0/0.

Используем правило Лопиталя:

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{3\cdot 3x^2}{2\cdot 1} =\frac{9}{2}$