Question

Найдите f(10). Если дано f(x+1)+f(x-1)=2f(x)+2 и f(0)=0, f(5)=980​

Answer 1

$f(x+1)+f(x-1)=2f(x)+2;\ f(0)=0;\ f(5)=980$

Перепишем соотношение в виде:

$f(x+1)=2f(x)-f(x-1)+2$

Начнем находить значения f(2), f(3) и так далее.

При $x=1$:

$f(2)=2f(1)-f(0)+2=2f(1)-0+2=2f(1)+2$

При $x=2$:

$f(3)=2f(2)-f(1)+2=2(2f(1)+2)-f(1)+2=$

$=4f(1)+4-f(1)+2=3f(1)+6$

При $x=3$:

$f(4)=2f(3)-f(2)+2=2(3f(1)+6)-(2f(1)+2)+2=$

$=6f(1)+12-2f(1)-2+2=4f(1)+12$

При $x=4$:

$f(5)=2f(4)-f(3)+2=2(4f(1)+12)-(3f(1)+6)+2=$

$=8f(1)+24-3f(1)-6+2=5f(1)+20$

Заметим, что по условию f(5)=980. Получаем уравнение:

$5f(1)+20=980$

$5f(1)=960$

$f(1)=192$

Найдем значение f(4):

$f(4)=4f(1)+12=4\cdot192+12=780$

Теперь продолжим находить значения f(6), f(7) и так далее:

$f(6)=2f(5)-f(4)+2=2\cdot980-780+2=1960-780+2=1182$

$f(7)=2f(6)-f(5)+2=2\cdot1182-980+2=2364-980+2=1386$

$f(8)=2f(7)-f(6)+2=2\cdot1386-1182+2=2772-1182+2=1592$

$f(9)=2f(8)-f(5)+2=2\cdot1592-1386+2=3184-1386+2=1800$

$f(10)=2f(9)-f(8)+2=2\cdot1800-1592+2=3600-1592+2=2010$

Ответ: 2010