9. 1)(x²+1)-4x² 3) x² + x² + 1 5)x+5x49 10 2) (x² +9)²-36x² 4) x³ + x^²+1 6) x¹-9x² + 16
Помогите пожалуйста,решите с решением пж
Ответы
Ответ:
Ответ:
а) S = 3(eд²)
b) V = 81π/10(eд³)
Пошаговое объяснение:
Сперво представим функции в удобном виде:
\begin{gathered}1)x {}^{2} = 3y \\\\ y = \frac{x {}^{2} }{3} \\\\ y = \frac{1}{3} x {}^{2} \\\\ 2)y {}^{2} = 3x \\\\ y = \sqrt{3x} \end{gathered}
1)x
2
=3y
y=
3
x
2
y=
3
1
x
2
2)y
2
=3x
y=
3x
Понятно , что 1 график это то что синим цветом.
Найдём точки пересечения графиков этих функций:
\begin{gathered} \displaystyle \sqrt{3x} = \frac{x^2}{3} \\\\ \left (3 \sqrt{3x} \right ) ^2 = \left ( x^2 \right )^2 \\\\ 27x -x^4 =0 \\\\ x\left (27-x^3 \right ) =0 \\\\ x_1=0~~~~~~~~~~~27-x^3=0;x^3=27 \Rightarrow x_2=3\end{gathered}
3x
=
3
x
2
(3
3x
)
2
=(x
2
)
2
27x−x
4
=0
x(27−x
3
)=0
x
1
=0 27−x
3
=0;x
3
=27⇒x
2
=3
а)
Площадь фигуры ограниченной графиками функций вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:
\boxed{ \boldsymbol{S = \int^b_af(x) dx= F(b) -F(a) \bigg |^b_a}}
S=∫
a
b
f(x)dx=F(b)−F(a)
∣
∣
a
b
Где a и b - пределы интегрирования.
В нашем случае графики пересекаются в точке 0 и 3 - это пределы интегрирования . Так как на промежутке от 0 до 3 график 2-ой функции расположен выше , то от него нужно отнять график первой функции.
Находим площадь фигуры:
\begin{gathered}S = \displaystyle \int^3_0\bigg ( \sqrt{3x} - \frac{1}{3} x {}^{2} \bigg ) dx = \displaystyle \int^3_0\bigg ( (3x) {}^{ \frac{1}{2} } - \frac{1}{3} x {}^{2} \bigg ) dx =\\\\= \frac{3 {}^{ \frac{3}{2} } \cdot 2x {}^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } - \frac{x {}^{3} }{9} = \frac{2x \sqrt{3x} }{3} - \frac{x {}^{3} }{9} \bigg |^3_0 = \frac{6 \sqrt{9} }{3} - \frac{27}{9} - \bigg(0 - 0 \bigg ) = 6- 3 = 3\left ( ed^2\right )\end{gathered}
S=∫
0
3
(
3x
−
3
1
x
2
)dx=∫
0
3
((3x)
2
1
−
3
1
x
2
)dx=
=
3
3
2
3
⋅2x
2
3
−
9
x
3
=
3
2x
3x
−
9
x
3
∣
∣
0
3
=
3
6
9
−
9
27
−(0−0)=6−3=3(ed
2
)
b)
Объем тела полученная при вращения вокруг оси Ох вычисляется по формуле:
\boxed{ \boldsymbol{V= \pi \int^b_af {}^{2} (x) dx}}
V=π∫
a
b
f
2
(x)dx
Для того , чтобы найти объем тела, ограниченного графиками двух функций, нужно будет от объёма тела ограниченная графиком функции сверху(то есть это красный график) отнять объем тела , ограниченная графиком функции снизу( это синий график).
Пусть V_2V
2
- объем тела, ограниченная функцией сверху , а V_1V
1
- объем тела ограниченная функцией снизу.
Находим V_2V
2
:
\displaystyle V_2= \pi \int^3_0 \left ( \sqrt{3x} \right ) {}^{2} dx = \frac{ \pi \cdot3x {}^{2} }{2} \bigg |^3_0 = \frac{27 \pi}{2}V
2
=π∫
0
3
(
3x
)
2
dx=
2
π⋅3x
2
∣
∣
0
3
=
2
27π
Находим V_1V
1
:
\displaystyle V_1= \pi \int ^ 3_0\left ( \frac{x {}^{2} }{3} \right ) ^{2} dx = \pi\cdot \frac{1}{9} \int^3_0x^4dx=\frac{\pi \cdot x^5}{45} \bigg |^3_0=\frac{\pi \cdot 3^5}{45} =\frac{27\pi}{5}V
1
=π∫
0
3
(
3
x
2
)
2
dx=π⋅
9
1
∫
0
3
x
4
dx=
45
π⋅x
5
∣
∣
0
3
=
45
π⋅3
5
=
5
27π
Следовательно:
\displaystyle V=V_2-V_1=\frac{27\pi }{2} -\frac{27\pi }{5} =\frac{135\pi -54\pi }{10} =\frac{81\pi}{10}\left ( ed ^3\right )V=V
2
−V
1
=
2
27π
−
5
27π
=
10
135π−54π
=
10
81π
(ed
3
)