Question

Сократите дробь: а) 6+√6/√30+√5; б) 9-а/ 3+√а.

Answer 1

В первом задании умножим числитель и знаменатель исходной дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, т.е. на $\sqrt{30}-\sqrt{5}.$ Тогда: $\displaystyle \frac{6+\sqrt{6} }{\sqrt{30} +\sqrt{5} } =\frac{\bigg(6+\sqrt{6}\bigg)*\bigg(\sqrt{30} -\sqrt{5}\bigg) }{\bigg(\sqrt{30} +\sqrt{5}\bigg)*\bigg(\sqrt{30} -\sqrt{5}\bigg)} .$ Дальше в числителе и знаменателе дроби раскрываем скобки, в знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ ⇒ $\displaystyle \frac{6+\sqrt{6} }{\sqrt{30} +\sqrt{5} } =\frac{\bigg(6+\sqrt{6}\bigg)*\bigg(\sqrt{30} -\sqrt{5}\bigg) }{\bigg(\sqrt{30} +\sqrt{5}\bigg)*\bigg(\sqrt{30} -\sqrt{5}\bigg)} =\frac{6*\sqrt{30} -6\cdot\sqrt{5} +\sqrt{6}*\sqrt{30} -\sqrt{6} *\sqrt{5} }{\bigg(\sqrt{30}\bigg)^2-\bigg(\sqrt{5} \bigg)^2 } =\frac{6\sqrt{30}-6\sqrt{5} +\sqrt{180} -\sqrt{30} }{30-5} .$Поскольку $\sqrt{180} =\sqrt{36*5} =6\sqrt{5} ,$ значит: $\displaystyle \frac{6+\sqrt{6} }{\sqrt{30} +\sqrt{5} } =\frac{\bigg(6+\sqrt{6}\bigg)*\bigg(\sqrt{30} -\sqrt{5}\bigg) }{\bigg(\sqrt{30} +\sqrt{5}\bigg)*\bigg(\sqrt{30} -\sqrt{5}\bigg)} =\frac{6*\sqrt{30} -6\cdot\sqrt{5} +\sqrt{6}*\sqrt{30} -\sqrt{6} *\sqrt{5} }{\bigg(\sqrt{30}\bigg)^2-\bigg(\sqrt{5} \bigg)^2 } =\frac{6\sqrt{30}-6\sqrt{5} +\sqrt{180} -\sqrt{30} }{30-5} =\frac{6\sqrt{30}\overbrace{-6\sqrt{5} +6\sqrt{5}}^0 -\sqrt{30}}{25} =\frac{(6-1)\sqrt{30} }{25} =\frac{5\sqrt{30} }{25} =$$\dfrac{\sqrt{30} }{5} .$

Ответ: $\bf \dfrac{\sqrt{30} }{5} .$

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Во втором примере в числителе дроби воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, представив $x$ как $(\sqrt{x} )^2.$ Тогда: $\displaystyle \frac{9-x}{3+\sqrt{x} } =\frac{3^2-(\sqrt{x} )^2}{3+\sqrt{x} } =\frac{\bigg(3-\sqrt{x}\bigg)*\bigg(3+\sqrt{x} \bigg) }{3+\sqrt{x} } =3-\sqrt{x} .$

Ответ: $\bf 3-\sqrt{x} .$