Question

Алгебра 11 клас.
Знайти площу 4)у=2х² і у=х+1 5) у=х² і у=8-х² 6)у=х²-3х ;у=4 і х=0,за умови,що х більше або дорівнює 0.

Answer 1

Ответ:

Вычисляем площадь области как разность площадей криволинейных трапеций .

$\bf 1)\ \ y=2x^2\ ,\ y=x+1$

Точки пересечения :  $\bf 2x^2=x+1\ \ ,\ \ 2x^2-x-1=0\ \ ,\ \ x_1=1\ ,\ x_2=-\dfrac{1}{2}$

$\bf \displaystyle S=\int\limits_{-1/2}^1\, (x+1-2x^2)\, dx=\Big(\frac{x^2}{2}+x-\frac{2x^3}{3}\Big)\Big|_{-1/2}^1=\\\\\\=\frac{1}{2}+1-\frac{2}{3}-\Big(\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\Big)=2-\frac{2}{3}-\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=2-\frac{21}{24}=\frac{27}{24}=\frac{9}{8}$  

$\bf 2)\ \ y=x^2\ ,\ \ y=8-x^2$

Точки пересечения:

$\bf x^2=8-x^2\ \ ,\ \ 2x^2=8\ \ ,\ \ x^2=4\ \ ,\ \ x=\pm 2$  

$\displaystyle \bf S=\int\limits^2_{-2}\, (8-x^2-x^2)\, dx=\int\limits^2_{-2}\, (8-2x^2)\, dx=2\int\limits^2_{0}\, (8-2x^2)\, dx=\\\\\\=2\cdot \Big(8x-\frac{2x^3}{3}\Big)\Big|_{0}^2=2\cdot \Big(16-\frac{16}{3}\Big)=2\cdot \frac{32}{3}=\frac{64}{3}$  

$\bf 3)\ \ y=x^2-3x\ \ ,\ \ y=4\ ,\ \ x\geq 0$  

Точки пересечения:  

$\bf x^2-3x=4\ ,\ \ x^2-3x-4=0\ ,\ x_1=-1\ ,\ x_2=4\ \ (x\geq 0)$

$\displaystyle \bf S=\int\limits^4_{0}\, (4-x^2+3x)\, dx=\Big(4x-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\Big)\Big|_{0}^4=16-\frac{64}{3}+24=\frac{56}{3}$