Question

Помогите с заданием по начертательной геометрии
Построить точку D/ , симметричной точке D относительно плоскости (АВС)
А(111,45,37); В(64,8,139); С(12,99,18); D(92,63,120)

Answer 1

В данном ответе дано аналитическое решение - найдены координаты точки D', симметричной точке D относительно плоскости АВС.

Это нужно для контроля правильности графического решения.

Составим уравнение плоскости АВС.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

 x – xA         y – yA         z - zA

xB – xA       yB – yA      zB - zA

xC – xA       yC – yA       zC - zA    = 0

Подставим данные и упростим выражение:

A(111,45,37); B(64,8,139); C(12,99,18); D(92,63,120).

x - 111      y – 45         z - 37

64 - 111    8 – 45       139 - 37  

12 - 111    99 – 45      18 - 37  = 0

x - 111      y – 45         z - 37

 47             -37             102

 99              54             -19 = 0

(x – 111)(-37·(-19)-102·54) – (y – 45)((-47)·(-19)-102·(-99)) + (z – 37)((-47)·54-(-37)·(-99)) = 0.

(-4805)(x – 111) + (-10991)(y – 45) + (-6201)(z – 37) = 0.

- 4805x - 10991y - 6201z + 1257387 = 0.

Получен нормальный вектор плоскости АВС: (- 4805; - 10991; - 6201).

Уравнение плоскости АВС:

(x – 111)(-4805) + (y – 45)(-10991) + (z – 37)(-6201) = 0.

Или 4805x + 10991y + 6201z -1257387 = 0.

Находим уравнение прямой DО, перпендикулярной плоскости АВС.

Для этого используем нормальный вектор плоскости

АВС = (-4805; -10991; -6201) и координаты точки D(92,63,120).

(x – 92)/(-4805) = (y – 63)/(-10991) = (z – 120)/(-6201).

Выразим уравнение прямой DО в параметрическом виде.

x = -4805t + 92,

y = -10991t + 63,

z = -6201t + 120.  И подставим в уравнение плоскости АВС.

4805(-4805t + 92) + 10991(-10991t + 63) + 6201(-6201t + 120) -1257387 = 0.

-182342507 t + 621226 = 0

t = 0,003407.

Получаем координаты точки О пересечения прямой DО и плоскости АВС.

x(О) = -4805*0,003407 + 92 = 75,62976,

y(О) = -10991*0,003407 + 63 = 25,55456,

z(О) = -6201*0,003407 + 120 = 98,87370.

Теперь определяем точку D1, симметричную точке D относительно плоскости АВС.

x(D1) = 2x(O) – x(D) = 2*75,6297 – 92 = 59,26.

y(D1) = 2y(O) – y(D) = 2*25,55456 - 63 = -11,89.

z(D1) = 2z(O) – z(D) = 2*98,87370 – 120 = 77,75.