Question

Розв'яжіть рівняння

$cos^{4}x- sin^{7}x=1$

Answer 1

Ответ:

$\left [\begin{array}{l} x =\pi n \\\\x =-\dfrac{\pi }{2}+ 2\pi n ~, ~ n \in \mathbb Z\end{array}$

Объяснение:

Найдем ограничение

$\cos ^4 x - \sin ^7x = 1 \\\\ \sin ^ 7x = \cos^4 x -1 \\\\ \sin ^7 x = (1 + \cos ^2x )(1-\cos ^2x) \\\\ \sin ^7 x = - \underbrace{\sin ^2 x}_{\geq 0}\cdot \underbrace{ (1 + \cos ^2x)}_{\geq 0}$

Таким образом  $\sin ^ 7 x \leqslant 0 \Rightarrow \sin x \leqslant 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством :

$\sin ^2 x + \cos ^2x = 1 \\\\ (\cos ^2x)^2 =( 1 -\sin ^2 x )^2\\\\\cos^4x = 1 - 2\sin ^2x + \sin ^4x$

Таким образом :

$1- 2\sin ^2 x +\sin ^4 x -\sin ^7x = 1 \\\\ \sin ^7 x -\sin ^4x + 2\sin ^2x =0$

Введем замену :

$\sin x = t ~~ , ~~\boldsymbol{\underline{ t\leqslant 0}}\\\\t^7 -t^4 + 2t^2 =0 \\\\ t^2 (t^5 - t^2 + 2) =0$

Рассматриваем уравнение в скобках ,  методом подбора находим корень  t = - 1 ,  а далее применяем схему Горнера

$\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|} \bold {-1 }& \stackrel{\pmb{t^5}}{1} & \stackrel{\pmb{t^4}}{0} & \stackrel{\pmb{t^3}}{0} & \stackrel{\pmb{t^2}}{-1} & \stackrel{\pmb t}{0} & \stackrel {\pmb 1}{2} \cline{8-14} &&-1&1&-1&2&-2 \cline{8-14} & &-1&1&-2&2&0 \cline{8-14} \end{array}$

По итогу мы получим :

$t^5 -t^2 + 2 =(t+1)(t^4 -t^3 + t^2 -2t + 2)$

Рассмотрим  уравнение 4-й степени
$t^4 -t^3 + t^2 -2t + 2 = 0 \\\\ t^2 -2t +2 = t^3 - t^4 \\\\ (t-1)^2+1 =t^3 - t^4 \\\\ (t-1)^2 = t^3 - t^4 - 1$

А как мы знаем  

$t\leqslant 0 \Rightarrow t^3 \leqslant 0$  и также $-t^4 \leqslant 0$

Таким образом правая часть  данного уравнения меньше нуля , а квадрат положительного числа не может быть равен  отрицательному числу , из чего можно сделать вывод , что данное уравнение действительных корней не имеет.

Теперь мы можем полностью  записать разложение :

$t^7 -t^4 + 2t^2 =t^2 (t+1)(t^4 -t^3 +t^2 -2 t +2)$

Нам остается решить уравнение :

$t^2 (t+1) =0$

Вернемся к старой переменной  sin x = t

$\sin^2 x (\sin x+1) =0 \\\\ \left [\begin{array}{l} \sin x =0 \\\\ \sin x + 1 =0 \end{array} \Rightarrow \left [\begin{array}{l} x =\pi n \\\\ x =-\dfrac{\pi }{2}+ 2\pi n ~, ~ n \in \mathbb Z\end{array}$