Question

Знайти границю за правилом Лопіталя

Answer 1

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

Представим выражение внутри предела, как $e^{\ln{(e^x-1)^\sin{x}}}}=e^{\sin{x}\ln{(e^x-1)}}}$. Поскольку $e^x$ — непрерывная функция, то мы можем перейти от предела функции к функции от предела аргумента:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\sin{x}\ln{(e^x-1)}} =e^{ \lim_{x \to 0} \sin{x}\ln{(e^x-1)} }$

Найдём предел $\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin{x}\ln{(e^x-1)}= \lim_{x \to 0}\dfrac{\ln{(e^x-1)}}{\frac{1}{\sin{x}}}$. Имеем неопределённость вида $\frac{\infty}{\infty}$. Тогда по правилу Лопиталя:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln{(e^x-1)}}{\frac{1}{\sin{x}}}= \lim_{x \to 0} \dfrac{(\ln{(e^x-1))'}}{(\frac{1}{\sin{x}})'}= \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{e^x}{e^x-1}}{-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}}=-\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x\sin^2{x}}{(e^x-1)\cos{x}}$

Имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Тогда по правилу Лопиталя:

$\displaystyle -\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x\sin^2{x}}{(e^x-1)\cos{x}}=-\lim_{x \to 0} \dfrac{(e^x\sin^2{x})'}{((e^x-1)\cos{x})'}=-\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x\sin^2{x}+e^x\sin{2x}}{e^x\cos{x}-(e^x-1)\sin{x}}=\\=-\dfrac{0}{1}=0$

Тогда исходный предел

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln{(e^x-1)^\sin{x}} =e^{ \lim_{x \to 0} \sin{x}\ln{(e^x-1)} }=e^0=1$