Question

.................................................

Answer 1

По условию нестандартную монету подбросили 8 раз, и нужно найти вероятность того, что орел выпал в 3/4 части бросках. Другими словами, орел должен выпасть 6 раз, а решка - оставшиеся 2 раза.

По условию число орлов за все время подбрасывания не превышало 3/4 от текущего числа подбрасываний.

Составим таблицу, в которой для каждого текущего числа подбрасываний вычислим максимальное количество орлов, которое могло выпасть к данному моменту.

$\begin{array}{ccccccccc}N&1&2&3&4&5&6&7&8\\\max(n_o)&0.75&1.5&2.25&3&3.75&4.5&5.25&6\end{array}$

Учитывая, что число орлов - целое, таблицу перепишем в виде:

$\begin{array}{ccccccccc}N&1&2&3&4&5&6&7&8\\\max(n_o)&0&1&2&3&3&4&5&6\end{array}$

Заметим следующее:

1. После 1 броска максимальное количество выпавших орлов равно 0. Иными словами, при первом броске должна выпасть решка.

2. После 5 бросков максимальное количество выпавших орлов равно 3. Поскольку мы определили, что всего орел должен выпасть 6 раз, соответственно после этого момента орел должен выпасть еще 3 раза. Учитывая, что после этого момента всего сотается 3 броска, то в этих заключительных трех бросках должен обязательно выпасть орел.

Таким образом, примерная схема результатов бросков выглядит следующим образом:

$\begin{array}{cccccccc}1&2&3&4&4&6&7&8\\P&X&X&X&X&O&O&O\end{array}$

Где: Р - решка, О - орел, Х - некоторый результат, причем только один из символов Х соответствует решке.

В бросках со 2 по 5 должны выпасть 1 решка и 3 орла в некотором порядке. Определить вероятность этого можно по формуле Бернулли.

Итоговая вероятность выпадения нужного результата:

$p=p_1\cdot p_{2-5}\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8$

По условию выпадение орла осуществляется с вероятностью $p_o=\dfrac{3}{4}$, выпадение решки - с вероятностью $p_p=\dfrac{1}{4}$.

В первом броске должна выпасть решка:

$p_1=p_p$

В бросках с 6 по 8 должен выпасть орел:

$p_6=p_7=p_8=p_o$

В бросках со 2 по 5 должны выпасть 1 решка и 3 орла в некотором порядке:

$p_{2-5}=C_4^1\cdot p_o^3\cdot p_p$

Подставляем все соотношения в формулу:

$p=p_1\cdot p_{2-5}\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8=p_p\cdot C_4^1\cdot p_o^3\cdot p_p\cdot p_o\cdot p_o\cdot p_o=4p_o^6p_p^2=$

$=4\cdot \left(\dfrac{3}{4} \right)^6\cdot \left(\dfrac{1}{4} \right)^2=\dfrac{4\cdot3^6}{4^6\cdot4^2}=\dfrac{3^6}{4^7}=\dfrac{729}{16384}$

Ответ: 729/16384