Question

Здравствуйте! На интервале [0 , 2π] найти уравнение cosx/sinx=1

Ответ: 5/16 π^2

Не могу понять откуда взялся такой ответ.

Заранее большое спасибо!

Answer 1

Ответ:

π/4 ; 5π/4

Объяснение:

$\displaystyle \frac{ cos x} { sin x} = 1$

В дробях ограничения заключаются в том , что знаменатель не может быть  равен нулю. Соответственно , находим ОДЗ:

$sin x \neq0 \\ x \neq \pi k,k\in Z$

По тригонометрическому тождеству   $c tg x =\frac{cos x}{sin x}$  запишем:

$ctg x = 1$

По частному случаю корень данного уравнения:

$\displaystyle \boldsymbol{x = \frac{ \pi}{4} + \pi n,n\in Z}$

Чтобы понять какие конкретные корни входят в интервал [0;2π] подберём n :

При n = 0:

$\displaystyle x = \frac{ \pi}{4}$✓

При n = 1:

$\displaystyle x = \frac{ \pi}{4} + \pi = \frac{5 \pi}{4}$✓

При n = 2:

$\displaystyle x = \frac{ \pi}{4} + 2 \pi = \frac{9\pi}{4}$☓

Корень  при n = 2 за пределами нашего интервала , а это значит , нету смысла дальше подставлять n , т.к корень будет ещё дальше  интервала.

Ответ: π/4 ; 5π/4