Question

Пожалуйста! 80 б Срочно

Answer 1

Ответ:

1)  Объём тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ, равен   $\displaystyle \bf V_{ox}=\pi \int\limits^a_b\, y^2(x)\, dx$  .

 $\displaystyle \bf x=0\ ,\ y^2=4-x$  

Точки пересечения с ОУ:  $\bf y^2=4-0\ \ ,\ \ y=\pm 2\ \ \Rightarrow \ \ \ A(0;-2)\ ,\ B(0;2)$  

Точки пересечения с ОХ:  $\bf 0^2=4-x\ ,\ \ x=4\ \ \ \Rightarrow \ \ \ C(4;0)$  .

$\displaystyle \bf V_{ox}=\pi \int\limits_{0}^4\, (4-x)\, dx=\pi \cdot \frac{(4-x)^2}{-2}\, \Big|_0^4=-\frac{1}{2}\cdot (0^2-4^2)=-\frac{1}{2}\cdot (0-16)=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (-16)=8$

2)   Площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:    $\displaystyle \bf S_{ox}=2\pi \int\limits^{b}_{a}\, y\cdot \sqrt{1+(y')^2}\, dx$  

$\displaystyle \bf y=\dfrac{1}{3}\, x^3\ ,\ x\in \Big[-\frac{1}{2}\, ;\ \frac{1}{2}\ \Big]$            

$\bf 1+(y')^2=1+\Big(\dfrac{1}{3}\cdot 3x^2\Big)^2=1+x^4$  

$\displaystyle \bf S_{ox}=2\pi \int\limits^{1/2}_{-1/2}\, \frac{1}{3}\, x^3\cdot \sqrt{1+x^4}\, dx=2\cdot \frac{2\pi }{3\cdot 4}\int\limits^{1/2}_{0}\, 4x^3\cdot \sqrt{1+x^4}\, dx=\\\\\\=\Big[\ t=1+x^4\ ,\ dt=4x^3\, dx\ \Big]=\frac{\pi }{3}\int\limits^{1/2}_{0}\, \sqrt{1+x^4}\cdot d(1+x^4)=$

$\displaystyle \bf =\frac{\pi }{3}\cdot \frac{2\, (1+x^4)^{\frac{3}{2}}}{3}\, \Big|_{0}^{1/2}=\frac{2\pi }{9}\cdot \left(\Big(\frac{17}{16}\Big)^{\frac{3}{2}}-1\right)=\frac{2\pi }{9}\cdot \Big(\frac{17}{16}\cdot \sqrt{\frac{17}{16}}-1\Big)=\\\\\\=\frac{2\pi }{9}\cdot \Big(\frac{17\sqrt{17}}{64}-1\Big)$